《电子科大matlab期末开卷必备.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电子科大matlab期末开卷必备.（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 设数a是精确值，x是a的一个近似值， 绝对误差（absolute error ）：真实值与近似值差的绝对值。 相对误差（relative error）：绝对误差与精确值之比（如果精确值未知，计算时用近似值代替）。 绝对误差限（精度，accuracy）：绝对误差的范围； 相对误差限：相对误差的范围; 真实值=00123.000456 要求保留5位有效数字：00123.00（最前面0不计，最后0不省） 绝对误差=|真实值-近似值| = 0.000456， 相对误差= 0.000456 / 00123.000456 =3.7073e-006 保留7位有效数字：00123.0005（四舍五入） 绝对
2、误差=0.0000440.00005（绝对误差不大于其最末数字的半个单位） 相对误差= 0.000044 / 00123.000456 = 3.5772e-007 浮点数是什么数？ 实数？ 有理数？ 有限小数？ 有多少个不同的浮点数？ 264（64位，每位有两个状态，“0”和“1”） 浮点数是由264个有限小数（包含整数）构成的集合？ 错。IEEE 定义了一些异常值，inf （无穷）和 NaN（“非数字”） 浮点数精度是多少？(绝对误差限） esp=2-52 = 2.2204E-16 最大的浮点数是多少？ realmax =（2-esp）21023 = 1.7977E+308 最小的浮点数是多
3、少？ realmax = -1.7977E+308 最小的正浮点数是多少？ realmin = 2-1022 2-52 =4.9407e-324 避免相近二数相减易减小有效数字 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 求和时从小到大相加，可使和的误差减小 简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累。 选用稳定的算法 eps是 f 的绝对误差限 eps是 f 的精度 浮点数的绝对误差不同；浮点数绝对值越大，绝对误差越大。 浮点数的相对误差不大于eps。 Matlab中“null”函数可计算欠定方程 Ax=0 的基础解系。 Matlab中的“”可计算方程的特解。 性质1：若A的所有顺序主子式均不为0，
4、则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。 性质2：只要 A 非奇异，即 A-1 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 1. 上（下）三角方阵的行列式的值等于对角线元素的乘积； 2. 上（下）三角方阵的转置为下（上）三角矩阵； 3. 上（下）三角方阵的逆矩阵为（上）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的倒数； 4. 两个上（下）三角方阵的乘积也是上（下）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的乘积。 算子范数与其对应的向量范数相容，即矩阵A的谱半径记为r (A) = ，其中li 为A 的特征根。且有 若A对称矩阵，则有 若原始数据有很小的变化x，对应的输出变化
5、y也很小，则称该数学问题是良态问题； 若y很大，则称为病态问题 病态问题中，结果对于数据的变化率都很大（很敏感），因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化 数学问题的病态问题完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。 问题一：b存在扰动： 给定方程组Ax=b，其解为x*，另给定包含误差方程组Ax=b+e，其解为x，分析其误差问题二，A 存在扰动： 给定方程组Ax=b，其解为x*， 给定包含误差方程组（A+E）x=b，其解为x，分析误差（A+E 可逆）问题三，A，b都存在扰动： 给定方程组Ax=b，其解为x*，另给定包含误差方程组（A+E）x=b+e，
6、其解为x，分析误差当条件数很大时,方程组 Ax = b是病态问题。条件数是矩阵的特征，与算法无关。条件数与所选择的范数有关，不同范数计算的条件数不同。迭代法基本原理：如果迭代序列x（k+1）= f（ x（k） ）收敛，则其极限点为方程 f（x）= x 的解 迭代公式的构建：将方程Ax=b改写为：x=Mx+c，M称为迭代矩阵迭代公式一（Jacobi 迭代利用Jacobi迭代求解方程组、迭代公式三（Gauss-Seidel迭代）一般认为新近似解要比老近似解更接近真实解，将已计算出的x（k+1）分量替换Jacobi 迭代公式中x（k）相应分量即可得到Gauss-Seidel迭代。 利用Gauss-S
7、eidel迭代求解方程组 步骤1、构造Jacobi迭代公式 步骤2、选择初值步骤3、利用Jacobi迭代公式计算一次迭代的第一分量 步骤4、将步骤3得到的一次迭代的第一分量替换初值的第一分量，计算一次迭代的第二分量： 步骤5、如果第三分量存在，利用一次迭代的第一、二分量计算第三分量，直到计算出所有迭代向量分量 。步骤6、重复步骤3-5，进行迭代迭代法求解线性方程组Gauss-Seidel迭代矩阵超松弛迭代 / SOR迭代矩阵 第k步迭代误差公式线性方程组迭代法收敛性：如果绝对值最大特征值（谱半径）小于1，则收敛，反之发散Gauss-Seidel迭代收敛性第k步迭代误差与初始迭代步长关系第k步迭
8、代误差与前步迭代步长关系 插值（interpolate） 已知函数在xi处的值为 yi ，求 f (x)，使之满足： yi = f (xi) 其中， f (x)为插值函数， xi处为插值节点，插值节点的区间称为插值区间， yi = f (xi)为插值条件。 拟合（fit） 已知函数在xi处的值为 yi ，求 f (x)，使之满足： e =yi - f (xi) 在给定的准则下最小。 问题描述： 给定插值点，构造多项式函数 Pn(x) = a0 + a1x + a2x2+ anxn，使之满足： Pn(xi) = yi (i = 0,1,2,n)。 如何计算： 多项式Pn(x) 由其多项式系数a0
9、 , a1, a2, , an决定，只需要求解多项式系数，即可获得该插值多项式。 将Pn(xi) = yi写为矩阵形式可得：求解该线性方程组即可得到多项式的系数 该线性方程组有解吗，解唯一吗？唯一性定理：通过n+1个节点的n阶插值多项式存在且唯一 多项式插值的拉格朗日多项式表示： 给定插值点，其插值多项式可表示为： 例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用一次、二次多项式插值计算 lg12的近似值。分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差clear all 埃尔米特插值的矩阵表示： close all clc f
10、ormat long % 插值 x = 1/6, 1/4, 1/3 * pi; y = 1 / 2,1 / sqrt(2), sqrt(3) / 2; xx = 1/6 : 1/60 : 1/3; xx = xx * pi; xx50 = 50 / 180 * pi; % 一阶插值 - ex yy1ex = y(1) * (xx - x(2) / (x(1) - x(2) + y(2) * (xx - x(1) / (x(2) - x(1); yy150ex = y(1) * (xx50 - x(2) / (x(1) - x(2) + y(2) * (xx50 - x(1) / (x(2) -
11、 x(1) % 一阶插值 - in yy1in = y(2) * (xx - x(3) / (x(2) - x(3) + y(3) * (xx - x(2) / (x(3) - x(2); yy150in = y(2) * (xx50 - x(3) / (x(2) - x(3) + y(3) * (xx50 - x(2) / (x(3) - x(2) % % 一阶插值 % l1 = (xx - x(2) .* (xx - x(3) / (x(1) - x(2) / (x(1) - x(3); % l2 = (xx - x(1) .* (xx - x(3) / (x(2) - x(1) / (x
12、(2) - x(3); % l3 = (xx - x(1) .* (xx - x(2) / (x(3) - x(1) / (x(3) - x(2); % % yy2 = y(1) * l1 + y(2) * l2 + y(3) * l3; % % l1 = (xx50 - x(2) .* (xx50 - x(3) / (x(1) - x(2) / (x(1) - x(3); % l2 = (xx50 - x(1) .* (xx50 - x(3) / (x(2) - x(1) / (x(2) - x(3); % l3 = (xx50 - x(1) .* (xx50 - x(2) / (x(3) - x(1) / (x(3) - x(2); % yy250 = y(1) * l1 + y(2) * l2 + y(3) * l3 figure hold on plot(xx * 180 / pi, sin(xx), r); plot(xx * 180 / pi, yy1ex, g); plot(xx * 180 / pi, yy1in, black); % plot(xx * 180 / pi, yy2, black); plot(x * 180 / pi, y, b)clear all
