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1、质点运动专题确定质点的位置一 质点运动学的研究对象 质点：大小和形状可以忽略的物体。有质量的几何点 PS：物体不变形，不作转动（此时物体上各点的v和a 都相同） 物体本身线度和它的活动范围相比小得很多（此时物体的变形及转动显得并不重要）二 确定质点位置得常用方法 1.直角坐标法 P（x，y，z） 2.位矢法-质点某时刻得位置由位置矢量表示 =x+y+z 位矢的大小: r=|= 位矢的方向：用方向余弦表示 位矢：以参照物所选的参考点向质点位置引有向线段质点相对该参考系的位矢 3.自然坐标法 s=s（t） 4.运动学方程 ：质点空间位置随时间变化的函数 另：矢量的叉乘积（叉乘） C=AB 大小：
2、交换律 AB= -AB|向量c|=|向量a向量b|=|a|b|sin 在这里表示两向量之间的角夹角（0 180），它垂直于这两个矢量所定义的平面上，可以用右手定则判定。向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断。判断方法如下：1.右手手掌张开，四指并拢，大拇指垂直于四指指向的方向；2.伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到B方向一致，那么大拇指指向为C向量的方向。因此 ，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a向量b=-向量b向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。 质点的位移，速度，和加速度一 位移矢量位移描述质点位置变化的物理量（从质点始位置指向末尾置的
3、有向线段）r=r（t+t）r（t） 位置矢量与参照系有关但位移与参照系无关位置矢量是状态量；位移是过程量 满足矢量叠加原理区别 矢量r |矢量r| r 矢量r |矢量r| r二 速度 （描述物体运动状态的物理量） 1.平均速度 ：平均速度是一个描述物体运动平均快慢程度和运动方向的矢量 2.瞬时速度：瞬时速度表示物体在某一时刻或经过某一位置时的速度，该时刻相邻的无限短时间内的位移与通过这段位移所用时间的比值 v=xt 。 瞬时速度是矢量，既有大小又有方向。瞬时速度是理想状态下的量。 3.平均速率和瞬时速率 平均速率v=st=(vt+v0)/2瞬时速率 （s对t的一阶导）PS：速度的矢量性，瞬时性
4、，相对性 当时v 与 r的方向相同 已知r=r（t）可求一阶导得任意时刻v（t）v=+ 速度与速率t很小 dt内 |d矢量r|=ds v=|矢量v| 平均速率与平均速度 V |矢量v| （单向直线运动，t0 时相等）用直角坐标表示位移，速度和加速度 一 速度 V=Vxi+Vyj+Vzk 大小 |矢量v|=二 加速度 a=axi+ayj+azk 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度一 速度 切向单位矢量 法向单位矢量二 加速度圆周运动的角量表示 角量和线量的关系一 角位置和角位移 二 角速度角位置对时间的一阶导数 描述质点转动快慢 单位：rad/s 一般 为逆时针转动三 角加速度角速度对时
5、间的一阶导数 四 角量与线量的关系1.2.3. （1）不变 匀角速圆周运动 （2）不变 匀变速圆周运动 不同坐标系中的速度和加速度变换定理简介习题知识小结位置矢量 rva 需要微分 逆向需要积分的物体是否无加速度？ 否，反切向加速度为0匀加速运动是否一定为直线运动？ 否，平抛运动（加速度为定值）圆周运动的加速度是否一定指向圆心？ 否，（切向加速度为0时 指向圆心）专题二 刚体刚体绕定轴的转动 若将刚体分成许多细微部分，并把每一细微部分看成一个质点，那么刚体可以看成是有无数质点构成的质点组，这个质点组与前面我们所讨论的质点组是有区别的，刚体视为质点组其特征是：构成刚体的任意二质点间的距离，在运动
6、中恒定不变，这种看法使我们有可能在质点动力学的基础上来研究刚体情况。1、刚体绕定轴转动的运动特征：刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系而言），其它各点都以该点直线上的相应点为圆心，在垂直于该点的平面内作大小不同的圆周运动。该直线为转轴，这种运动称刚体绕定轴的转动。刚体绕定轴的转动有三个特点： 刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同的圆周运动。 各质点作圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上。 各质点绕轴运动的角速度是相同的，这就意味着角速度的变化也是相同的，即各质元的角加速度相同。研究刚体定轴转动时，通常取一垂直于定轴的平面作为转动平面来研究，由转动平面的任意性知，其上任一点可代表刚体的
7、所有点的运动情况。刚体定轴转动时，O点为转轴与某一转动平面的交点，P为刚体转动平面上任一质点，P点在转动平面内绕O点作圆周运动。运动学中讨论的角位移，角速度，角加速度等概念都适用刚体定轴转动。当刚体绕定轴转动的角加速度为定值时，组成刚体的各质元都作半径不同的匀变速率圆周运动。刚体的运动规律满足匀变速率圆周运动的基本公式：2、 转动惯量刚体绕定轴的转动我们采取类比法讲授，以便于同学们更好理解定轴转动中的一些基本物理量的物理含义。任何物体在平动时都具有保持原来运动状态的特性，叫平动惯性。而转动的物体有没有这种惯性呢？转动的砂轮在关闭电动机后还会继续转动，最终停下来是由于轴与轮之间的摩擦力。可以想象
8、，如果轮和轴之间丝毫摩擦也没有，那么，砂轮会永远转下去，这就是刚体转动时保持原有状态的特性，叫做转动惯性。在质点力学中，质量是物体平动惯性大小的量度，在描述刚体转动惯性时，只考虑刚体质量的多少是不够的。例：两种同质量但质量分布不一样的物体（见下图）绕o点转动，（a）比（b）转动惯性要大。因此，不仅要考虑物体质量的大小，还需要考虑质量相对于轴的分布情况，故需要引入一个新的物理量转动惯量。用它来描述转动物体的转动惯性。mm(a)o2mo(b)（1） 转动惯量的定义若把刚体看成是许多质量元所组成，每一质元视为一质点，则刚体的转动动能就是各质量元作圆周运动的动能之和。对任意质量元，其作圆周运动的动能：
9、=，整个刚体的转动动能：0令 (1)并称为转动惯量。例图（a）中刚体绕定轴的转动惯量为。在国际单位中，的单位为。刚体绕定轴转动的转动动能写成 (2)说明：1）对定转轴的刚体来说，各质量元到转轴的距离是一定值，所以对转轴固定的刚体来说是个定值。2）一般物体的质量可认为是连续分布的，如上例中（b）图，杆的质量就是连续分布的，对质量连续分布的刚体 ，有： 其中为体积的体密度，为对应于的体积元，为体积元与转轴之间的距离。（2） 转动惯量的物理意义将（2）式与平动动能 的比较知：与相当，它们分别表示刚体转动与质点平动的快慢；与m相当，于是在刚体转动中，起着平动中质量的作用，故称之为转动惯量。（3.） 与
10、转动惯量有关的因素由J的定义知，J与刚体的总质量有关，M越大，J越大。但在M一定时，J还与哪些因素有关呢？下面通过两个实例来说明。 Example 1 求质量为m半径为R的细圆环（或圆盘），对于垂直于环面（盘面）且通过环心（盘心）的转轴的转动惯量。解1： 构成的细圆环的所有质点到该轴的垂直的距离都等于R。R解2：把圆盘看成是由许多环半径为x，质量为的圆环组成。其转动惯量，整个圆盘的转动惯量x 比较结果：。由此可知，质量相同，但质量分布不同，不同。在总质量一定且质量分布一定的情况下，J还与哪些因素有关呢？Example2 求均匀细棒绕和轴转动的转动惯量。（1）0轴通过棒的中心且垂直于棒。（2）轴
11、通过棒的一端且垂直于棒。解（1） ：建立如图坐标系，；任取一质量为质元，它对轴的转动惯量为，整个棒绕中心轴的转动惯量J为： 。O 解（2）：坐标原点位于棒的端点，同理可求出 由此可知，在总质量一定且质量分布也一定的情况下，转动惯量与所给定轴的位置有关。小结： 刚体的转动惯量与三个因素有关。A: 转动惯量与刚体的总质量有关（m）B: 在m一定的情况下，转动惯量与质量的分布有关（质量分布远离转轴，其J就越大）C: 在总质量一定且质量分布一定的情况下，转动惯量与给定的轴的位置有关。回顾：（1）刚体绕定轴转动的三个特征：重点放在各质点绕轴转动的角速度（包括角加速度）相等；（2）转动惯量：1）：定义如质
12、量不是连续分布用，如质量为连续分布用。且无论质量是否连续分布，只要转轴位置一定，转动惯量为定值。2）通过类比我们得出了转动惯量的物理含义它是描述转动刚体转动惯性大小的物理量。（3）通过一些实例，我们得出了与转动惯量有关的一些因素。（4） 转动惯量的可加性 一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。 例1、大学物理练习题册刚体绕定轴的转动（一）第6题：求两球一杆组成的新刚体对0轴的转动惯量。 解：根据转动惯量的可加性，组成的新刚体绕轴的转动惯量等于杆绕中心轴0的转动惯量和两球分别绕0轴的转动惯量：3mo2例3、如图所示
13、，长为L质量为m的匀质细杆，可绕通过杆的端点o并与杆垂直的水平固定轴在铅直平面内转动，杆的另一端连接一质量为m的小球。杆从水平位置由静止开始自由下摆，忽略轴处的摩擦，当杆转至与竖直方向成角时，小球与杆的角速度是多少？解：取杆、小球和地球为系统，下摆过程中，系统只受重力（内力 ）的作用，机械能守恒。现将杆和小球视为一个新的刚体A，它绕O轴的转动惯量，刚体A在下落过程中重力势能转换成绕定轴转动的动能，根据机械能守恒定律，解得。也可将杆与小球分开讨论：，式中的。其结果是一样的。3、转动定律维持刚体转动状态靠的是转动惯性，那么如何改变转动状态呢？上一章讲到改变物体平动状态需要力的作用，力的作用能改变刚
14、体的转动状态吗？例如 ：门是以门轴为定轴转动的，力作用在门轴上或力的方向平行于门轴都是不行的，关键在于力的作用必须有垂直于轴的分量，且力的作用线与轴有一定的距离，满足上述条件的力，对门轴而言，就是对门轴的力矩。即力矩才能改变门的转动状态。（1）力矩 可以改变刚体的转动状态假设刚体所受到的外力在垂直于转轴O的平面（或认为的一个分力在这一平面内，另一分力平行于转轴）。对转轴O的力矩： （d为力的作用线到O的垂直距离）又，所以：(夹角)，或。力矩是矢量，其方向可由右手螺旋法则确定（转动时，应从经小于180度的角转到的方向）即（是力的在用点相对于转0的位矢。）注：（1）在定轴转动中，刚体不是逆时针转动就是顺时针转动，因此力矩可用正、负号表示。力矩的正负是人为规定的。 （2）定轴转动中，几个外力同时作用在物体时，其力矩的量值等于这几个力各自力矩的
