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1、第二章 分岔与奇怪吸引子第一节 第一节 简单数学分岔分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。分岔是一种非常普遍的自然现象。一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。常识告诉我们，在力P的作用下，如图2-1a所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷后，杆会出现弯曲，这时扰度s为压力P的函数。在以Ps为坐标的平面上，如图2-1b所示，当压力P时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC方向）、偏向或方向，因此是这个力学体系不同平衡状态的分岔点。然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会
2、偏向或状态。另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s随压力P的增加而沿曲线OA或OB增加。图2-1 一根弹性压杆的分岔在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。上一章我们在展示单摆运动中看到，当驱动力F增加到某临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入
3、混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数处发生了所谓叉式分岔，一个在时的稳定解在时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。1 切分岔产生切分岔的微分方程形式： (2-1-1)式中为控制参数。由得式(2-1-1)的平衡点为： (2-1-2)解(2-1-2)说明，当0时不存在奇点，而当0时出现两个奇点，如图2-2所示。然而0时的两个奇点的稳定性是不同的，其中是稳定的，而是不稳定的。图2-2 切分岔为了讨论切分岔的两个解的稳定
4、性，我们在的附近取一点，它与的距离为，由式(2-1-1)得：将解式(2-1-2)代入并忽略高阶小量有：于是得解： (2-1-3)因此，对于解，当时有，说明此解是稳定的，它是稳定的结点。对于解，当时有，因此它是不稳定的，它是鞍点。由此可见切分岔是一个鞍结分岔。为了说明分岔点附近的分岔情况，如图2-3给出了0、= 0与0时与轴相垂直的x平面中相轨线的走动方向，稳定的解是图中的A支，不稳定的是图中的B支。A与B两支构成了0时鞍点与结点附近的相轨线。图2-3 切分岔中的相轨线2 转换键型分岔这种分岔属于稳定性转变的分岔，它是由下式产生的。 (2-1-4)由给出方程(2-1-4)的奇点为： (2-1-5
5、)当式(2-1-4)的右边取负号时分岔图形如图2-4所示。采用与分析切分岔解的稳定性同样的方法，经分析可知，如0它的平衡点是稳定的，而它的平衡点是不稳定的；如0它的平衡点是不稳定的，而平衡点( ? )是稳定的；其分岔点为(,)(0,0)。对式(2-1-4)右边取正号的情况只要将上述的讨论推广即可。图2-5给出了与轴相垂直的x平面中相轨线的流动方向。由图可见，不管是0还是0，都是一对鞍结点。但在0时，的轴线是结点，不稳定的A支是；而在 0( ? )时，的轴线是不稳定的A支，结点为( ? )支。图2-4 转换键型分岔图2-5 转换键型x平面中的的相轨线3 叉式分岔 有一微分方程： (2-1-6)为
6、控制参数。由得三个平衡点： (2-1-7)当0时，只有平衡点0，采用切分岔解稳定性分析方法可知它是稳定的。当0时则有三个平衡点，其中0是不稳定的，而的两个解都是稳定的。因此其分岔图形象一把叉子，如图2-6所示。在上一章的杜芬方程(1-2-9)（）求解中，在参数时，方程只有一个的平衡点；在参数时方程有三个的平衡点：与，其中两个平衡点是稳定的，是不稳定的平衡点。可见杜芬方程具有叉式分岔。图2-7给出了0、=0与0时与轴相垂直的x平面中相点沿相轨线的走动方向。图2-6 叉式分岔图2-7 叉式分岔的x平面中的相轨线4 霍夫型分岔研究微分方程组： (2-1-8)引入极坐标，(x-y)相平面上一点到坐标原
7、点的距离为，则：， 对它们微分后有： (2-1-9)代入式(2-1-8)的第一式，并分别令正弦与余弦分量的系数分别相等，得： (2-1-10)对式(2-1-10)积分可得： (2-1-11a) (2-1-11b)式中，积分常数C与t0由初始条件决定。由式(2-1-11a)可见，对于0，相平面中的相点到坐标原点距离r随时间缩短，当时间t时r 趋于零，也就是说轴线上的各点是稳定的焦点，相空间中的各点都会趋近与它。由式(2-1-11b)可见，当0时r 值随时间增长，不论初始r 值的大小如何，当时间t时，最终r趋于，形成一闭合圈，即极限环。这种因参数从负变化到正，从焦点产生出极限环的分岔称为霍夫分岔，
8、分岔点位于=0。图2-8给出了霍夫分岔中的极限环及轨线图形。图2-8 霍夫分岔 作为例子，我们讨论一下范德玻耳方程的分岔。在第一章分析范德玻耳方程时知道，该方程有一个极限环，在极限环内是不稳定的不动点，其周围的轨线是向外发散的，说明存在霍夫分岔。范德玻耳方程可以写成如下： (2-1-12)为了给出范德玻耳方程的相图，引进参数参数：I与q，它们分别称为作用量与角度量。在设= 0时，它们与变量x有如下关系： (2-1-13) (2-1-14)由式(2-1-13)得： (2-1-15)由式(2-1-13)与(2-1-15)两式得： (2-1-16)对方程(2-1-16)求导得：利用方程(2-1-12
9、)后上式为：将式(2-1-13)与(2-1-15)代入式(2-1-16)得： (2-1-17)并对式(2-1-17)的相位求平均，略去平均符号后得： (2-1-18)式中： 由方程(2-1-8)，使可求该方程式的平衡点： 现在分析两个解的稳定性。将式(2-1-18)改写为： (2-1-19)对于平衡点邻域有，注意到与IC相比是个高阶小量，可以忽略。代入方程(2-1-19)得：于是得解： (2-1-20)是初始对的偏离小量。解(2-1-20)说明作用量I随时间指数增长，是不稳定解，它是不稳定的焦点。对于，在其邻域有，代入方程(2-1-19)得：化简得：于是得解： (2-1-21)为对的初始偏离量
10、。解(2-1-20)说明作用量I对的偏离量随时间指数减小，当，即。这是霍夫分岔。由此可见，在（）相平面上，范德玻耳方程的坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的，当相空间的相点趋向于极限环，如图2-9所示。然而，范德玻耳方程的这个性质与方程中参数的正负有关。如果方程中参数为负值，则由解(2-1-20)与(2-1-21)将得到完全相反的结论。这时坐标原点变为稳定的焦点，成为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。当时，处于极限环内的相点趋向于不动点，处于极限环外的相点则远离而去。 图2-9 范德玻耳方程霍夫分岔的相图第二节 平方映射与倍周期分岔1平方映射在物理上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可
11、以用离散数表示。例如一个以为连续变量的单参数的动力学系统： (2-2-1)这里为系统的参数。如果我们考察在等时间间隔t，t+1，t+2，t+3，中系统状态的变化，则式(2-2-1)可以改写为时间演化方程： (2-2-2)如果时间间隔不是整数，则可把各个时刻写成，这里：，而把相应的状态记为：，其中 于是时间演化方程(2-2-2)变成了离散方程： (2-2-3)这就是数学上称之为映射的方程。可见用连续变量表示的动力学系统是微分方程，用离散数表示时为映射。其实它们之间有一定的对应关系。例如一个简单映射： (2-2-4)利用迭代方法求解。设起始值为，迭代方法为将代入上式得：由得：经n迭代后得：计算得到
12、的一组数值：，如果将值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。与映射(2-2-4)对应的微分方程为： (2-2-5)其解为：将简单的线性映射(2-2-4)与微分方程(2-2-5)的解作图，如图2-10所示映射的解是梯形的指数增长的或下降的曲线，而微分方程给出的是连续的指数增长或下降曲线。图2-10 简单线性映射与微分方程解变化曲线1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一种世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。如果令某类种群它的第n代的种群总数为Nn，则生态环境能提供维持种群数量有个最大限额，设为。当然，实际种群总数不会超过最大限额，设两者之比:则与分别为相继两代的种群数，为亲代，为子代。如果无环境的限制，子代种群数量将与亲代种群数成正比：考虑到种群生长受环境的制约，则假定
