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1、第六章 能量泛函的转换形式及其应用6.1 总位能泛函转换形式及其应用由4.1节中的（4-16）式，定义了总位能泛函，即 （4-16）该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即所以，这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，解的收敛性得到保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。【例1】 梁元素的总位能泛函及其变换。图6-1所示的一维梁，承受横向分布载荷，简支端（）作用一集中力矩，梁的另一端为固持。显然，其边界条件为： 图6-1 一维弯曲梁
2、：，及 6-1）总位能泛函根据定义可写为 （6-2）其中 （应变能） （6-3） （外力位能） （6-4）上面各式中，表示挠度，它是坐标的函数，而与分别代表及。现在对总位能取一阶变分， （6-5）当弯曲刚度沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Green公式，可得 （6-6）将（6-6）式代入（6-5）式中，利用条件（6-1）式，整理后可得 （6-7）现令（6-7）的，利用变分法中的预备定理，可得到 （6-8） （6-9）（6-8）式即为平衡方程，与材料力学所导出的公式完全一致，（6-9）式为力的边界条件，即相当于（6-1）式中的最后一个公式。以上的分析再次验证了总位能泛函的驻值条件是等价
3、于平衡方程的。应当指出，方程（6-8）对自变量即挠度要求它具有四阶可微，而泛函（6-2）中最高可微阶次为两次。显然，定义泛函的自变量的因次可能满足不了平衡方程（6-8）的要求，从这一点来说，直接利用泛函（6-2）来导出的离散型式有限元素法模型，对自变量阶次的要求可能要低得多，这对选择自变量的函数形式带来方便。在连续体力学中所求寻的解一般都具有高阶可微性，且满足微分方程及所有的边界条件。有限元素法情形却不一样，它的解是用有限个自由度来表示的，且是分片光滑函数，这些函数的可微性一般均低于微分方程式中导数的最高阶数。【例2】 图6-2为一维梁元素，节点位移分别为，下标1代表节点1的，下标2代表节点2
4、的，节点位移列阵为 （6-10）因为节点位移有四个，我们以3次多项式表达挠度，即 （6-11）或 （6-12）图6-2 一维梁元素式中： 显然，（6-11）式的阶次并不满足平衡方程式（6-8）。利用节点位移（6-10）式，可得 （6-13）则（6-12）式化为 （6-14）式（6-14）中的矩阵为位移插值函数，其物理涵意在一般有限元书中均有说明。下面由式（6-14）式导出几何矩阵，梁的弯曲应变为 （6-15）（6-15）式中的阵为 （6-16）将（6-14）式中的代入（6-16）式，可求出几何矩阵为最后，利用（4-16）式求出梁的总位能泛函为 （6-17）式中为梁的抗弯模量，为梁横截面关于轴的
5、惯性矩。由泛函的驻值条件，即，可得 （6-18）式中 （6-19）为梁元素的等效节点力。利用能量法求近似解的方法较多，其中Rayleigh-Ritz法是一种有效而应用得比较多的一种方法。其主要是选用一系列满足位移边界条件的函数来离散实际位移，如 （6-20）为待定参数。将上式代入总位能泛函中，得到以为独立变量的泛函如利用泛函驻值条件， （6-21）得到一组代数方程式， （6-22）譬如对于图6-1所示的一端固持一端简支的梁，（6-1）式表示其边界条件。现取 （6-23）显然，（6-23）式是满足位移边界条件的两个连续函数。梁的可能挠度可取为 （6-24）这类函数的形式甚多，这里不在列举。【例3
6、】 薄板的总位能泛函及其变换形式。总位能泛函在薄板中也得到广泛应用。下面我们讨论略去横向剪切效应的Kirchhoff板的总位能泛函的形成过程。图6-3为板边界的正向边界力的规定，表示给定的边界力，为分布法向载荷。图6-3 弯曲板正向边界力其应变能为 （6-25），为板的曲率，在一般薄板弯曲理论中可以查到各基本公式，如 （6-26） （6-27）式中，是材料的泊松系数。将（6-26）式和（6-27）式代入（6-25）式中，可求得 （6-28）给定边界上的外力是由以下几部分组成：表面法向载荷、法向给定边界力矩及等效给定剪力组成，于是外力位能等于 (6-29)式中表示力的给定边界，而用表示位移给定边
7、界。总位能泛函为 （6-30）（6-30）式给出的薄板总位能泛函的一般形式。对于具体薄板（给定位移边界及力边界条件等各种情形），上式应作相应调整。譬如对四边简支矩形板，承受分布载荷，如图6-4所示，泛函（6-30）式只保留前两项积分。图6-4 四边简支矩形板如果利用Rayleigh-Ritz法求解，可取三角函数来求挠度，如下面的形式， （6-31）泛函（6-30）可改写为 （6-32）对（6-31）式求导，并利用三角函数积分正交性，再代入（6-32）式后，可得 （6-33）最后，利用总位能的驻值条件 （6-34）得到一组代数方程，从而求出系数，并得到挠度值。总位能原理泛函为位移协调元素模型的建
8、立作出了贡献，问题的实质是由变分泛函直接形成离散的有限元素模型，而不是通过变分运算得到微分方程。元素刚度矩阵的形成过程在有限元专著中均可查到，这里只简单的回顾一下。如图6-5所示的矩形弯曲薄板，节点位移为 （6-35）图6-5 矩形弯曲板元其中，、分别表示节点挠度、转角等。通过双线性插值函数，完成位移的离散，如 （6-36）式中都是的四次多项式（各式可查阅有限元素法教材）。应变与节点位移关系，是由几何矩阵体现的，如 （6-37）几何矩阵为312矩阵现将（6-36）式和（6-37）式代入总位能泛函，经过整理后，可得 （6-38）式中，刚度矩阵 （6-39）等效节点力 （6-40）（6-40）式为
9、实际作用到节点上的载荷，它组成等效节点载荷的一部分。由驻值条件，得到薄板弯曲时的刚度方程为 （6-41）【例4】 现在讨论图6-6所示薄板的屈曲失稳情形。在失稳之前，我们假定在薄板的中面上承受平面应力和，这里表示一比例常数（有的书上用表示）。这些应力可视为初应力，它们均满足平衡条件和力的边界条件（忽略体力）： （在体积V内） 图6-6 薄板的屈曲失稳 （在或上）（6-42）另一种边界为位移边界（或称），对于总位能泛函，则需要预先给定，如及 （在上） （6-43）薄板的中面力可以用单位长度上的力表示，这部分力可视为在失稳过程中是不改变大小与方向的常量，由于中面的平面内的变形，这些力所作用的功为
10、（6-44）注意积分号内的等以压力为正，所以在积分号内各力在计算时均取正值。将（6-44）式代入总位能泛函，则可写出 （6-45）式中挠度为独立变量，从总位能泛函自变量的约束条件要求，则必须满足给定的边界条件如（6-43）式之边界等。经过对（6-45）式泛函自变量的离散化，并按有限元素法刚度方程的形成过程，最后可求得一组特征方程，并由此而求出其特征根，确定了失稳临界系数。6.2 总余能泛函转换形式及其应用由4.1节中的（4-22）式定义了总余能泛函为 （4-22）该泛函为单变量泛函，自变量为力或广义力，泛函成立的约束条件是自变量处处满足平衡方程及力的边界条件，这与总位能原理相对应，它同总位能原
11、理类似，也是属于两种不同场量的经典变分原理。总余能原理在有限元素法中的应用，不如总位能原理广泛，而它对构造应力杂交模型作出了贡献，为有限元法开辟了另一领域。为了与总位能泛函有所区分，这里用U*、V*分别表示余应变能及外力余功，总余能泛函表示为 （6-46）式中 （6-47a,b）如果讨论的对象为平面应力板，则应力分量可以表示为 （6-48）现在引用应力函数，在不考虑体力的情形下，应力函数与应力分量的关系为 （6-49）应力函数满足平衡方程 （6-50）现将（6-49）式代入（6-48）式，（6-48）式又可以表示为 （6-51）显然，（6-51）式中之表示以二阶导数微分算子前乘应力函数。以上引
12、入应力函数的目的是为了用节点应力函数（包括导数）来离散元素应力，这恰如基于位移法的有限元法中以节点位移来离散位移有相似之处。对于图6-7所示的边长为和的矩形平面元素，节点编号为），节点应力函数为 （6-52）由（6-52）式可以分别表示元素的4个节点参数。如果11-21边为应力给定的边，则应有图6-7 矩形平面板元素为了保证元素与元素之间的协调，这里采用了Hermitan插值函数，对自然坐标可分别写出各插值函数为 （6-53）及 （6-54）应力函数可以由下式插值完成 （6-55）形函数展开后，为以下161列阵形式 （6-56）对应于形函数的节点应力函数参数为 （6-57）式中均表示对、及的导数。利用（6-51）式和（6-55）式，元素应力可表示为 （6-58）将（6-58）式代入余应变能（6-47a）式中，（6-47a）式可以转换为
