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1、陇东学院本科生毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二O一 年 月 日15探讨在阻尼情况下弹簧质量对振子运动状态的影响冯立帅，张广平（陇东学院 电气工程学院，甘肃 庆阳 745000）摘要：在许多的物理问题中，都把弹簧振子的运动看做理想模型来处理,但在实际中弹簧都是有质量的，并且运动也不是绝对理想的，都
2、是有阻尼的，这将对振子的运动状态带来一定的影响，本文运用微元法和分析力学的方法,探讨在有阻尼情况下弹簧质量对振子运动状态的影响，总结出了在非理想状态下弹簧振子的圆频率、周期、振幅等的变化情况。关键词：弹簧振子；有阻尼；圆频率；等效质量TO DISCUSS THE DAMPING CASES SPRING QUALITY TO THE INFLUENCE OF THE OSCILLATOR MOTION STATEFENG lishuai ,ZHANG guangping(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang
3、745000, Gansu, China)Abstract:In many physical promlems,the movement of the spring oscillator is regarded as an ideal model to deal with ,but in pratice spring is quality,and the movement is not absolute ideal are damping,which will bring about the motion of the vibrator bring certain effect, This p
4、aper uses micro-element method and analytical mechanics methods to explore the state of motion of the oscillator in the spring-mass damping case,Summarized in the ideal condition spring oscillator circular frequency, cycle, such as amplitude changes .Key Words:spring oscillator;circular freuency;Ada
5、mping;equivalent mass1 引 言 弹簧振子是大学物理中的一个典型模型，对于弹簧质量不可忽略的弹簧振子的问题，有许多文献仅仅是考虑了弹簧自身的质量，而把运动时外界环境的因素看做是理想的，但在实际中，振动往往是在有阻尼情况下进行的，得出弹簧振子振动的圆频率、周期与振幅和真实的情况相比存在一定的误差，这就必须考虑在有阻尼情况下弹簧振子的运动状。下面用分析力学通过微元法来求解质量不可忽略的弹簧振子在有阻尼情况下振动方程的解，进而分析在三种阻尼情况下振子的振动状态。2. 理想状态下弹簧振子的运动对于理想的弹簧振子，我们只认为是在方向上的横向振动，因此可以把它看做是自由度为一的保守系统
6、，设振子质量为,弹簧的弹性系数为，取为广义坐标，则振子的动能为势能为 则系统总能量为 (2-1)对于任何一个单自由系统，在以为广义坐标下的无阻尼自由振动的运动微分方程可写为对上式进行变换，可得其中圆频率，则振动周期为 （2-2） 这就是未考虑弹簧质量的弹簧振子的振动周期。但在实际问题中，弹簧并非理想情况，有一定的质量。如果不考虑弹簧本身的质量，必然对整个振动周期的精确度带来一定的影响。因此有必要考虑弹簧的质量来求出振子的振动周期。3 弹簧振子的等效质量我们假设弹簧是一根质量为的弹性棒，其自然长度为，如图(3-1)所示：ALxldl图3-1 弹簧振子等效图dx忽略一切阻力，弹性棒的质量是均匀分布
7、的，设棒上任一点的距离为，则当振子产生一个的位移时，也将发生一个位移，显然的位移小于产生的位移，因为的位移是整个弹性棒L的伸长量，而的位移只是弹簧中任一点到固定点的伸长量，所以的位移必然小于的位移。为了简单合理地算出的位移，我们假定弹性棒各部分所发生的位移与它们到固定点的距离成正比，则的位移当时，即为固定点，时，即为的位移，显然是合理的，那么这段微元的动能为 （3-1） 弹性棒在任一给定时刻的总动能为 （3-2）则在任一时刻，整个系统的能量为 （3-3）其中 因为弹性棒只在方向上振动，所以只有一个自由度，取为广义坐标，则上式变为 （3-4）和（2-1）式对比，很显然整个系统的等效质量增加，为，
8、那么它将对整个系统的振动产生怎样的影响呢？由（3-3）可知，系统的哈密顿量为 （3-5）式中，哈密顿正则方程为 （3-6） （3-7）由式（3-6），（3-7）得其通解 （3-8）式中，易知 （3-9）可见，圆频率、周期与弹簧的质量有关。4 在有阻尼情况下振子的振动状态 对于单自由系统 ，以为广义坐标（从平衡位置开始量取），则系统振动的微分方程可写成为 （4-1）其中、和分别为振子的质量、阻尼系数和弹性系数。对上式进行变形为 (4-2)这就是有阻尼作用时，振子系统自由振动微分方程的标准形式，它是一个二阶常系数线性齐次方程，其解可取为将上式代入（4-2）式，得特征方程上式的两个根为因此方程（4-
9、2）的通解为 (4-3)此解中，特征根值不同时，弹簧振子的运动规律有很大的不同，下面分，三种不同情况进行讨论。4.1 在情况下当时，特征方程的两个根是一对共轭复根其中，这时微分方程(4-3)的解可以有欧拉公式写成， （4-1-1） 其中,和为两个积分常数，由运动的初始条件确定。令（其中，）表示有阻尼振动的圆频率。设初瞬时，则有由（4-4-1）式我们可以看出，物体在其平衡位置附近做往复运动，但因的值随时间的增加而迅速减小，所以物体偏离其平衡位置的距离也迅速减小。这就是有阻尼情况下弹簧振子的自由振动，振动曲线如下图所示。TdA qt0图4-1-1 在情况下的振动图 从严格的意义上讲，有阻尼的振动已
10、不在是周期振动，但仍具有振动的特点，由此可将系统从一个最大偏离平衡位置到下一个最大偏离平衡位置所需的时间称为衰减振动的周期，记为，如上图所示，衰减振动的周期为 （4-1-2）或 （4-1-3） （4-1-4）可以看出，有阻尼自由振动的周期与相应的无阻尼自由振动的周期近似相等。 我们再来讨论一下振幅衰减的情况，由（4-1-1）式可见，相当于振幅。设在某瞬时，系统在平衡位置某边的最远处，其振幅为经过一个周期后，即在瞬时，其系统的振幅为则两相邻振幅之比为 (4-1-5) 从上式我们可以看出，每经过一个周期振幅衰减的程度，对于一个给定的系统，振幅比永远为一个常数，就是说振动系统振幅的衰减是成线性变化的
11、。4.2在情况下当时，我们把它称为临界阻尼情形，那么临界阻尼系数为 （4-2-1）特征方程的根为相等的两个实根，即则微分方程（4-2）的通解为 （4-2-2）其中和为两个积分常数，由运动的初始条件决定。 在这种情形下，系统的运动是随时间的增加而无限地趋向平衡位置的，因此运动已不具备振动的特点和性质，运动图如4-2-1所示：t0=1图4-2-1 在情况下的振动图q4.3在情况下当时，我们把它称为过阻尼情形，这时，特征方程有两个不相等的实根其微分方程(4-2)的通解为其中和为两个积分常数，由运动的初始条件决定。很显然，此时的运动也是随时间的增加而无限地趋于平衡位置，不再具有振动的特性，运动如图4-3-1所示。q01图4-3-1 在情况下的振动图t5 考虑弹簧的质量和摩擦阻尼时弹簧振子的振动周期若系统在流体中运动（如空气），阻力不能忽略，在振子速度不太大情况下，阻力与速度大小成正比，与速度方向相反，振子微分方程变为 （5-1）式中，、均为常量，为阻力系数。将（5-1）式变形为上式为二阶常系数线性微分方程，其特征方程为
