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1、科技信息SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2011 年第 35 期 弹簧振子是一个非常有用的物理模型， 是物理学的基础知识，它 引出了简谐运动、阻尼运动并对波的研究有重要作用。 掌握好弹簧振 子知识，对于进一步学习有促进作用，而我们所学的弹簧振子是理想 化的，它忽略了空气阻力、弹簧质量、倾斜角等影响因素。 为了更深一 步了解弹簧振子，本文主要研究上述因素对它的影响。 目前，对弹簧振 子的理论研究非常多，如：在弹簧质量（m）与振子质量（M）相比不可忽 略时：T=2 M+1 3 m k姨 ； 考虑空气阻力后T酆T理=2 M k姨 ， 弹簧实 际上做欠阻尼运动，振幅为A
2、e -t ；周期T与倾斜角无关等。 本文主 要从实验操作方面验证现阶段提出的理论及分析误差产生原因。 主要 内容是从理论和实验两方面研究空气阻力、弹簧振子、倾斜角对弹簧 振子周期的影响，以及空气阻力对弹簧振子振幅的影响和水平和竖直 方向振子的能量问题。 1周期的研究 理想情况下，T理=2Mk姨，说明周期只于振子质量（M）及弹簧 劲度系数（k）有关。 但实际上的周期还与空气阻力、弹簧质量（m）等因 素有关，下面将讨论此问题 11空气阻力对弹簧振子系统周期的影响 理论上，设空气阻力f空vxdx dt （为阻力系数） 则根据牛顿第二定律，对振子有： Md 2x d 2t =-kxdx dt 令w0=
3、 k M 2M d 2x d 2t 2dx dt w0 2x=0 （1） 当阻力很小时，以致w0，可由上式得振子的运动学方程 x=Ae -tcos（w） （2） 其中ww0 22 姨 （2）式中Ae -t 表示振幅，cos（wt）则以w为圆频率周期性的变 化，二因子相乘表示质点作运动范围不断缩小的往复运动，这种运动 状态称欠阻尼状态，周期 T=2 w = 2 w0 22 姨 （3） 显然阻尼振动周期大于同样振动系统的简谐运动的周期T=2 w0 。 下面我们通过实验验证上述结论的正确性。 实验装置如图1：将一滑块用两根相同 图1 弹簧相连置于气垫导轨上，光电门连接在计时仪上。 需要注意的 是选择
4、滑块质量（M）远大于弹簧质量（m），实验时取M=180.45g，k1=k2 =2.392Nm ，得 T理=2 M （k1k2） 姨 =2 018045 23922姨 12203（s） 而实验测得2T实=25190 2.5183 2.5183 2.5185 2.5183 2.5186 2.5189 2.5190 2.5190 2.5143 圯T 軈 实=1.2591（s） 相对误差： T 軈 实-T理 T理 1001259112203 12203 100318 实验结果说明考虑空气阻力后T实大于简谐振动的周期T理。 12弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响 首先，我们来分析一下理论上有什么影响，如图
5、2。 图2 设振子质量为M，弹簧原长为l0，劲度系数为k，弹簧单位长度的 质量为=m l0 ，设振子M的振幅为A，振动速度为x觶，则平衡时固定端 为l的微元dl的振幅 l l0 A，振动速度为 l l0 x 觶，忽略各种阻力和能量损 耗，振动系统机械能守恒，在上图时刻： 弹簧的动能 Ek 1= l 0 乙1 2 dl（ l l0 x 觶）21 2 m 3 x 觶 2 振子M的动能 Ek 2= 1 2 Mx 觶 2 振动系统的弹性势能 Ep=1 2 kx 2 根据机械能守衡定律，有 1 2 Mx 觶 2+1 2 m 3 x 觶 2+1 2 kx 2c 将上式对t求导，有： M+m 3 乙乙x 咬
6、+kx=0 令 2= k M+m 3 乙乙 得x 咬+ 2x=0 则弹簧振子的振动周期： T=2 =2 M+1 3 m k姨 有上式知：当弹簧质量（m）与质量（M）相比不可忽略时，弹簧的等 弹簧振子的实验研究 杨凤琴 （江苏省无锡交通高等职业技术学校江苏无锡214000） 【摘 要】本文主要从理论和实验两方面出发，研究了空气阻力、弹簧质量、倾斜角等因素对弹簧振子振动周期的影响，以及空气阻力对弹 簧振子振幅的影响和水平方向、竖直方向的弹簧振子的能量问题，并分析了误差出现的原因。 【关键词】弹簧振子；振动周期；振幅；能量 【Abstract】This article mainly from two
7、 respects of theory and Experiment Research on starting, air resistance, spring mass, tilt angle on the vibration period of spring vibrator effects, as well as the air resistance of spring oscillator amplitude effects and the horizontal direction, vertical direction of the spring oscillator energy p
8、roblem, and the analysis of error causes. 【Key words】Spring vibrator；Vibration period；Amplitude；Energy 科教前沿 184 科技信息2011 年第 35 期SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 效质量为1 3 m ，且 T酆T理=2 M k姨 下面用实验验证上式是否正确： 实验装置如图3 ，选 M与m大小相当，进行试验， 在装置上将光电门固定在振子平衡时所处的位置，并 连接在记时仪上，已知：m=22.68g，k=1.0316Nm，分别 取M=5g，20g，50g 假设
9、考虑弹簧质量（m）后，弹簧振子系统的周期： T=2 M+m k姨 圯 T 2k 4m 2 M m （1） M=5g4T实271052.7128 2.7368 2.7439 2.7480 圯T 軈 实06826（s） 代入（1 ）得 103164 M=20g 4T实4.03574.10204.08914.0330 3.9902 圯T 軈 实1.0125（s） 代入（1 ）得 202993 M=50g 4T实5.8440 5.9119 5.8353 5.8218 5.8790 圯T 軈 实1.4646（s） 代入（1 ）得 302668 =1 3 （123）02942 由上可知与 1 3 有一定差
10、值，原因有以下两方面：（1）理论值 1 3 的推导过程中，有很多理想化因素，如设微元dl的振幅和振动速度与 它离弹簧固定端的距离按线性变化；（2）理论值 1 3 是在忽略各种阻力 和能量损耗情况下推导出的，而在实验中它们是实际存在的。 13倾斜角对弹簧振子系统的周期的影响 图4 我们先研究如图4所示的倾斜叫为的光滑斜面上的弹簧振子 的运动情况。 振子的质量为M，弹簧质量m，原长为l0，劲度系数为k， 弹簧为完全均质弹簧。 考虑离固定端原长为l处的弹簧微元dl的受力情况： 沿斜面向下的重力的分力为 F1=M+ l0-l l0 00 mg sin 微元dl的形变为dx，劲度系数为 l0 dl k，
11、故弹力大小为 F2= l0k dl dx=l0kdx dl 平衡时满足F1=F2 ，即 M+ l0-l l0 00 mg sin=l0kdx dl 圯dx=g sin l0k M+ l0-l l0 00 mdl 设平衡时弹簧的长度为l（），则有： l（）l l 0 乙dx=l l 0 乙g sin l0k M+ l0-l l0 00 mdl=lg k M+1 2 00 msin 所以上图的弹簧振子系统可作这样的简化：不考虑弹簧振子系统 所受的重力，而把弹簧振子中弹簧的原长看成l（），实际上就是把沿 斜面方向运动的弹簧振子简化为沿水平方向运动的弹簧振子，只是弹 簧的原长应以l（）取代实际原长l0
12、，而我们已经学过弹簧振子系统的 周期与l0无关，间接说明T与无关。 下面我们来看实验：所用实验装置为图1 M=180.45gk1=k2=2.392N/m实验时取不同 （如图5），测其相应的周期 d=4cm 圯sin=d l = 4 67.5 =0.06 圯=3.40 2T实=2.5134 2.5144 2.5167 2.5197 2.5138 圯T 軈 实1.2578（s） T理=2 M k姨 12203（s） T 軈 实-T理 T理 100307 d=8cm 圯sin=d l = 8 67.5 圯=6.81 2T 軈 实=2.5185 2.5124 2.5177 2.5170 2.5138
13、圯T 軈 实1.2579（s） T理12203（s） T 軈 实-T理 T理 100308 由实验结果中相对误差值， 可知不同时，T与T理=2 M k姨 相 差不多，理论与实验相符合。 2振幅的研究 主要研究空气阻力对弹簧振子系统周期的影响。 在前面研究空气阻力对弹簧振子系统周期的影响时，得到振子的 运动学方程为 x=Ae -tcos（t） 其中Ae -t 表示振幅，可知振幅不断减小，如图6。 图6 图7 我们用装置图1来验证上图中xt的变化关系，振子的平衡位置 在71.5cm处，将振子拉至45cm处放手，每隔10T记一次振子到达左 侧最大位移时的位置如下： 4546.54849.250.3
14、4546.547.84950.2 4546.5484950.2 4546.547.848.850.1 4546.547.94950.2 对每一列数字求平均，得 4546.547.94950.2 上述数值与71.5cm之差即为振幅A A=26.52523.622.521.3 图3 图5 科教前沿 185 科技信息SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2011 年第 35 期 下面我们画出实验装置中振子做欠阻尼运动的示意图（见图7）， 由图可知与图6相吻合，即弹簧振子实际上做欠阻尼运动，又由图可 知，振幅不断减小，但减小的速度非常小，这是因为空气阻力较弹簧阻 力小得多，所
15、以在理想情况下，弹簧振子的欠阻尼运动可看作简谐运 动，振幅视为恒定值。 下面我们通过已测的A、T值计算出，精确空气阻力对弹簧振子 周期的影响。 由公式x=Ae -tcos（t）, 得到振幅A=Ae -t 圯-1 t lnA A （3） 其中A，A均由图1中所测的T（T=1.2591（s）算出t =n 10T t=10TA=26.5cm A25cm代入（3 ）式 圯 1 1012591 ln 25 256 4627810 3 （s 1 ） t=20TA=26.5cmA=23.6cm代入（3 ）式 圯24.602410 3 （s 1 ） t=30TA=26.5 A22.5cm代入（3 ）式 圯34.331910 3 （s 1 ） 1 3 （123）4.523110 3 （s 1 ） 圯=2M1.632410 3 （kgs） 将代入公式（3）T= 2 w0 22 姨 圯T 2 k M 2 姨 = 2 2.3922 018045 （4523110 3 ） 姨 芊 2 2.3922 018045姨 =1.2203（s） 由、T数值可知空气阻力很小， 因存在其他系统误差导致T实与 T有差值。 3能量的研究 我们知道水平弹簧振子与竖直弹簧振子的总能量均是 1 2 kA 2
