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1、分解因式一、因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法一、乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；必须记住（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 二、十字相乘法例1 分解因式：1、 2、 3、 4、5、 6、 7、 8、9、 10、 11、 12、13、 14、 15、 16、 一元二次方程一、对于一元二次方程ax2bxc0（a0）， 有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等
2、的实数根 x1x2；（3）当0时，方程没有实数根 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根 ， （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根 x1x21； 当a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1 （4）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(
3、1a)，所以当0，即4(1a) 0，即a1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根根与系数的关系（韦达定理）一、概念：1、若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根 ， 则有 ； 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即
4、由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根， 522k260， k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2所以，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例3 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实
5、数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m-1说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可（）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还
6、要考虑到根的判别式是否大于或大于等于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例4 已知两个数的和为4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，则 xy4， xy12 由，得 y4x， 代入，得x(4x)12，即x24x120，x12，x26 或因此，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例5 若
7、x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值； （3）x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()例6 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4， 由得a a的取值范围是a41选择题
8、：（1）方程的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 （3）已知关于x的方程x2kx20的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）3 （B）3 （C）2 （D）2（4）下列四个说法： 方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程x22x70的两根之和为2，两根之积为7；方程3 x270的两根之和为0，两根之积为；方程3 x22x0的两根之和为2，两根之积为0其中正确说法
9、的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个（5）关于x的一元二次方程ax25xa2a0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）若方程x23x10的两根分别是x1和x2，则 （2）方程mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3和1为根的一元二次方程是 （4）方程kx24x10的两根之和为2，则k （5）方程2x2x40的两根为，则22 （6）已知关于x的方程x2ax3a0的一个根是2，则它的另一个根是 （7）方程2x22x10的两根为x1和x2，则| x1x2| 3已知，当k取何值时，方程kx2axb0有两个不相等的实数根
10、？4已知方程x23x10的两根为x1和x2，求(x13)( x23)的值5试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？6求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10各根的相反数练习B组1选择题:若关于x的方程x2(k21) xk10的两实根互为相反数，则k的值为 （ ） （A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx2
11、0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值二元二次方程组解法一、一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解二、典型例题：例1 解方程组 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式注意到方程是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题解：由,得x2y2， ，把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21把y10代入, 得 x12； 把y21代入, 得x20所以原方程组的解是 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解例2 解方程组 解法一：由，得 把代入，整理，得解这个方程，得把代入，
