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1、实验26 波尔振动的物理研究实验人： 合作人： 理工学院光信息科学与技术专业 实验日期： 年 月 日 【实验目的】1. 观察扭摆的阻尼振动，测定阻尼因数。2. 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘扭摆在不同阻尼情况下的共振曲线（即幅频特性曲线）。3. 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线（即相频特性曲线）。4. 分析波尔共振的相位和角速度的关系。【实验仪器】扭摆（波尔摆）一套（PHYWE），秒表，数据采集器，转动传感器。【实验原理】1扭摆的阻尼振动在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作用：一是弹性恢复力矩，它与摆的扭转角成正比，即
2、（c为扭转系数）；二是阻力矩阻，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即(r为阻矩系数）。若扭摆的转动惯量为I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程： （1）即 （2）令（称为阻尼因数），（称为固有圆频率），则式(2)的解为 （3）其中为扭摆的初始振幅，T 为扭摆做阻尼振动的周期，且。由式（）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅 及第n 个周期时的振幅，并测得摆动n个周期所用的时间nT ，则有则 （4）2扭摆的受迫振动当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通过弹簧加到摆轮上，其频率是，幅度为（，为外力矩角幅），且有，则扭摆的运动方程变为 （5）
3、其中，在稳态情况下，式（5）的解是 （6）其中A 为角振幅， （7）而角位移 与简谐外力矩之间的位相差则可表示为 （8）式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是A ，它的频率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是。由式（7）可见，当0时，振幅A 接近外力矩角幅（），随着的逐渐增大，振幅A 将随之增加，当时，振幅A 有最大值，此时称为共振，此频率称为共振频率，即。当或时，振幅都将减小；当很大时，振幅趋于零。由式（8）可见，当时，有，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于，而在时（有阻尼时不是共振状态），位相才正好落后；当时，有，此时，即位相
4、落后得更多；当时，趋近，即接近于反位相。在已知及的情况下，则可由式（8）计算出各值所对应的值。【实验内容及步骤】1波尔共振实验注意事项(1) 对电路有充分的认识，了解每一部分的作用（电流表、二极管等）。电路所加的电流不能超过1A。(2) 分析清楚自由振动、阻尼振动、受迫振动的区别：电路上怎么去区分这三种状态。(3) 做受迫振动时，输出电压调到最大，则电机转速变化范围最大，有利于调出共振状态。2. 手工操作实验内容（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。（2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是6V 和8V 时候的阻尼因数 。（3）观察共振现象，测量在6V 和8V 阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频
5、特性。幅频特性曲线：以为横坐标，振幅A为纵坐标。相频特性曲线：以为横坐标，相位为纵坐标。3. 计算机测控实验内容此方法采用转动传感器（运动记录仪）和计算机自动采集和处理数据。将一条细线的一端粘在波尔摆黄色转盘的边缘上，另一端绕过传感器的转轮绑一个2g的砝码，使得波尔摆转动时可以带动传感器转动，这样就可以通过传感器获得波尔摆的转动角度、角速度、和周期等一系列参数。（1）实验开始时，在计算机里打开一个与数据采集器对应的软件（measure）。在软件的参数设置时，同时选择角度和角速度，软件就会在同一个坐标里画出扭摆的转动角度、角速度和周期的样图，将样图和得到的数据存盘，存在“E:学生实验数据物理系”
6、目录里，自己建一个文件夹，以学号和学生姓名为子目录名，例如：033011200 张三。（2）数据的导出：在measure 菜单中选择export data，里面的两个单选按钮都选第二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再点击calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动角度和角速度的相图。运行Origin 软件，点击工具栏的Import ASCII 按钮，打开刚才存盘的数据文件，将第二列数据改成X 坐标，再选定后面两列数据，点击“line”，就可以画出转动角度和角速度的相图了。用上述的方法对扭摆的三种振动状态进行分析。要求
7、：1、利用软件算出扭摆的振动周期和固有频率。2、讨论各振动状态相图中的物理意义。3、自由振动、阻尼振动、受迫振动的相图的异同点。【实验数据记录及分析】一、手动测量部分1.波尔摆在自由振动状态下的固有频率实验测得由不同位置释放波尔摆震动十五个周期的时间如表格1所示。表格1 不同初始振幅对应的15个周期时间指针的零位置A初=0.9div初始振幅14.112.110.18.1129.6629.6529.6729.67229.6829.5929.6829.64329.6929.6329.6629.65429.6329.6429.6829.66529.6729.6329.6529.63平均值29.666
8、29.62829.66829.65标准误差0.0102960.0101980.0058310.007071其中标准误差=15(5-1)i=15(15Ti-15T)2以初始振幅为15举例A=15i=15Ai=29.666=15(5-1)i=15(15Ti-15T)2=0.010296由上述分析可见，各组数据的标准误差较小，可认为每组数据较为精确。表格2 不同初始振幅对应的周期及角频率初始振幅/div1513119T/s1.97771.97521.97791.9767/(rad/s)3.1753.1793.1753.177其中T=15T15，0=2T观察表格中的角频率可发现，自由振动时不同初始振幅
9、下角频率基本相等。详细分析如下：（1）角频率平均值：=14i=140i=143.175+3.179+3.175+3.177=3.177rad/s（2）角频率标准误差：=1n(n-1)i=1n(i-)2=134i=14(i-3.177)2=0.001rad/s因为其标准误差很小，所以可以取：0=3.1770.001 rad/s综上所述，自由状态下波尔摆的角频率与初始振幅无关，为其自身的固有频率。误差分析：（1）.测量时间过程中，由于视觉原因，如没有正视波尔摆的刻度，导致结束计时点存在误差。属于偶然误差。（2）.由于人的视觉分辨原因不能准确把握平衡位置引起误差。属于系统误差。误差改进措施：（1）.
10、 测量周期的起始和结束点取平衡位置。减少视觉偏差造成的误差，同时避免因释放和计时不同步带来的误差。（2）.实验过程中，释放人员和计时人员轮流交换角色。可以减少个人原因引起的较大误差。（3）. 进行多组测量取平均值。2.阻尼振动步骤： 分别加2V、4V电压到阻尼线圈 使波尔摆摆开一定格数Ao 自然放开，用秒表测量5个周期时间和末振幅格数An，数据记录在表2 计算不同阻尼电压下的阻尼因数不同阻尼电压下波尔摆振幅的变化如表格3所示。表格3 不同阻尼电压下A5(div)大小（ A0=15div指针的零位置A初=0.9div）次数12345平均值A5标准误差2v11.111.211.211.211.31
11、1.20.0324v5.55.45.65.65.45.50.045其中A5=15i=15A5i ,=15(5-1)i=15(A5i-A5)2 以初始振幅为2V举例A=15i=15Ai=11.2=15(5-1)i=15(Ai-A)2=0.032由于标准误差较小，可认为测量数据较为准确。所以在下面处理数据中均采用平均值。表格4 不同阻尼电压下振动周期5T（s）次数123455T平均值标准误差T/s2v9.909.899.919.889.919.8980.00581.97964v9.899.889.909.899.929.8960.00681.9792其中T=15i=15Ti , =15(5-1)i
12、=15(Ti-T)2以初始振幅为2V举例T=15i=15Ti=9.898s=15(5-1)i=15(5Ti-5T)2=0.0058由表格4，标准误差较小，可认为测量数据较为准确。在阻尼电压为2v时，2=15TlnA0A5=19.898ln14.111.2=0.0233在阻尼电压为4v时，4=15TlnA0A5=19.896ln14.15.5=0.0951U(V)24（s-1）0.02330.0951可见，阻尼电压增大，阻尼系数也增大。另外值得注意的是，这里计算阻尼系数并没有采用公式=02-2，因为在该公式里0和都并不是直接测量值，而是通过测量T进而计算得到，存在误差累积，再次计算阻尼系数会存在
13、加大误差。而上面计算过程中的公式则直接利用了测量值，减少误差累积。因而不采用公式=02-2。3.共振现象及受迫振动的幅频特性和相频特性 步骤： 在实验二基础上，分别接入2V和4V电压到阻尼线圈 粗测估算出共振电压大概为9.9V 按顺序调节驱动电压（从6V16V），测出每个电压对应5周期时间，记录最大振幅A。共振频率附近测点更密 计算各振动角频率 以为横坐标，振幅A为纵坐标画出幅频特性曲线；以为横坐标，相位为纵坐标画出相频特性曲线。（注：注意：当0时，有tan0 ，此时应有，应该有，即将值减去作为其位相差。）表5阻尼电压为2V时的受迫振动情况（其中0=3.177 rads-1 , =0.0233 s-1 ）驱动电压16.02414.05812.08211.01010.51010.0339.8059.5038.0116.0102V5T/S5.596.137.448.448.949.859.9410.4714.1023.47A/div0.250.320.601.412.3015.8011.903.650.800.50/rad5.6175.1224.2203.7203.5123.1883.1592.9992.2271.338/01.7681.6121.328
