高等数学ⅱ)

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1、高等数学（） Higher Mathematics 课程编号：10021002 学时： 144 学分：9 课程性质：必修 选课对象：思想政治专业、国际贸易专业等 内容概要：本课程主要包含微积分、空间解析几何和常微分方程三个部分。介绍一元及多 元微积分等方面的基本概念、基本理论、基本方法和基本应用，培养学生的数学基本能力 以及综合应用所学知识解决实际问题的能力。 建议选用教材：高等数学（上、下册） 合肥工业大学数学教研室编 主要参考书：应用高等数学（上、下册）翟向阳主编 上海交通大学出版社 高等数学教学大纲 学时：144 学分：9 教学大纲说明 一、课程的目的与任务 高等数学是高等学校工科专科各

2、专业学生的一门必修的重要基础课，它是为培养社会主 义建设需要的工程技术人员服务的。通过这门课程的学习，使学生获得向量代数与空间解 析几何、微积分、常微分方程及无穷级数的基本知识，必要的基础理论和常用的运算方 法，并注意培养学生的运算能力和初步的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力，从而使学 生获得解决实际问题能力的初步训练，为学习后继课程奠定必要的数学基础。 二、课程的基本要求 1、 正确理解下列基本概念以及它们之间的内在联系，函数、极限、连续、导数、微分、 不定积分、定积分、偏导数、全微分、二重积分，函数的幂级数展开式，二阶常系数线性 微分方程。 2、正确理解并牢固掌握下列基本定理和公式 拉格朗

3、日定理、牛顿-莱布尼兹公式，基本初等函数的导数公式，基本积分公式，函 数，和的幂级数展开式。 3、熟练运用下列法则和方法 函数的和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则，第一种换元积分法、分部 积分法、二重积分的计算法、可分离变量的一阶微分方程的解法，一阶线性微分方程和一 阶常系数线性微分方程的解法。 4、会运用向量、微积分和常微分方程的方法解决一些简单的实际问题。 三、与其它课程的联系与分工 1、作为数学概念的引例的物理、力学问题（如速度、质量、流量、物体的振动等），可 根据专业需要选讲，以便将来在相应学科讲述这些内容时，学生易于接受。 2、根据教学计划，各专业讲授普通物理与理论力学时间

4、不同，需用到的常微分方程和 向量代数等内容，可根据实际情况提前讲授。 四、教学形式与学时分配 章 次内 容总学时数课程讲授学时数习题时数一函数、极限、连续14122二导数与微分 14104三中值定理及应用14122四一元函数积分学24204五向量代数与空间解析几何14122六 常微分方程14122七多元函数微分学14122八多元函数积分学20164九无穷级数 16142 合 计14412024 五、课程的性质及适应对象 思想政治专业、国际贸易专业等。 教学大纲内容 一、函数、极限、连续 1、函数 函数的定义、函数的性质、反函数、基本初等函数、复合函数、分段函 数、初等函数。 2、极限 数列极限

5、定义、函数极限的定义、函数的左右极限、无穷小与无穷大、无 穷小与函数极限的关系、极限的四则运算、两个重要极限、无穷小比较、等价无穷小。 3、函数的连续性 函数的连续定义、间断点、连续函数的和、差、积、商的连续 性，反函数与复合函数的连续性，基本初等函数和初等函数的连续性，闭区间上连续函数 的最大、最小值定理及介值定理。 教学提示： 本章的重点是要求理解函数、极限及连续函数概念，掌握求极限的一些基本方法，难 点是建立实际问题中的函数关系式。 注 10 极限定义，只要求用叙述性定义，可以不用-或-方式； 20 极限的有关性质（如四则运算、数列极限有界性、无穷小运算性质等）不要求 证明。 二、导数与

6、微分 1、导数 导数的定义、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间关系、函数的 和、差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、基本初等函数的 导数公式、隐函数求导、由参数方程所确定函数的求导法则、对数求导法、高阶导数。 2、微分 微分的定义、微分的几何意义、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、 微分在近似计算中应用。 教学提示： 本章的重点是要求理解导数与微分概念，导数的几何意义，难点是复合函数求导法 则。 注 10 可适当配置变化率等例题，使学生了解导数在实际问题中的具体应用； 20 导数公式可适当推导证明，导数运算要求熟练； 30 通过实例引入微分概念，突出函数局部线性

7、化思想，近似计算不作繁难题。 三、中值定理与导数应用 1、中值定理 罗尔(Rool)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、罗必塔(LHopital)法 则； 2、导数应用 函数的增减性及其判别法，函数的极值及其求法，最大值、最小值及 其应用问题，曲线凸凹性及其判定，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，函数图形描绘， 弧微分，曲率定义及其计算公式。 教学提示： 本章的重点是拉格朗日定理、罗必塔法则、函数增减性的判定、函数的极值、最大 值、最小值及其应用问题，难点为最大值、最小值应用问题。 注 10 拉格朗日定理可以不给出证明，仅给出几何说明，罗尔定理可作为特例； 20 罗必塔法则可不证，应用重点是

8、或型。 四、一元函数积分学 1、不定积分 原函数与不定积分定义、不定积分性质、基本积分公式、换元积分 法、分部积分法、几类可积函数（有理函数、三角函数有理式及简单无理函数）积分举 例、积分表的使用。 2、定积分及其应用 定积分的定义、定积分存在定理、定积分性质、定积分中值定理、变上限函数及其求 导、牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式，定积分的换元积分与分部积分法、定积分元 素法在几何、物理中的应用，两种广义积分。 教学提示： 本章的重点是不定积分、定积分概念、牛顿-莱布尼兹公式，难点是变上限函数及其 求导，元素法。 注 10 定积分存在定理与定积分换元法不证； 20 积分计算

9、的练习着重在基本运算方面、淡化这方面技巧； 30 变上限函数的求导不宜过难； 40 会用元素法求解几何中（面积、体积、弧长）及物理中（功、压力等）。 五、向量代数与空间解析几何 1、向量代数 空间直角坐标系 两点间距离公式 向量的概念、向量的加、减法、向量与数量的求法、向量轴上的投影、向量的分解与 向量的坐标、向量的模单位向量、方向余弦、方向数、向径、向量的数量积、向量的向量 积、两向量的夹角、两向量垂直与平行的条件。 2、平面与空间直线、平面的方程（点法式、一般式）、直线的方程（一般式、对称 式、参数式）、两平面关系、两直线关系、平面与直线之关系。 3、二次曲面与空间曲线 曲面方程概念、二次

10、曲面（椭球面、双曲面、抛物面、锥面、旋转面），空间曲线方 程概念。 教学提示： 本章比较容易，重点为向量的数量积、向量的向量积、平面与直线方程。 六、常微分方程 1、微分方程一般概念、微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解； 2、一阶微分方程 可分离变量齐次方程、线性方程、贝努力方程； 3、二阶线性微分方程 线性微分方程解的结构、二阶常系数齐次微分方程、二阶常 系数齐次微分方程。 教学提示： 本章重点是可分离变量、二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程，难点：建立 微分方程。 注 微分方程应用较难，可通过一定的实例来说明，具体亦可穿插到各个部分以分散难 点。 七、多元函数微分学 1、多

11、元函数 多元函数的定义、区域，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连 续性，有界闭区域上连续函数的性质。 2、偏导数与全微分 偏导数的定义，二元函数、偏导数的几何意义，高阶偏导数， 混合偏导数，可交换求导次序的条件，全微分定义与几何意义，全微分存在的充分条件， 多元复合函数的求导法则，全导数、隐函数求导； 3、偏导数的应用，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极 值及其求法。 教学提示： 本章的重点是偏导数与全微分的概念，多元复合函数求导法则，难点：仍为多元复合 函数求导。 注 10 高阶偏导数不作过高要求； 20 极值存在的充分条件不证，应用中的最大、最小值问题可按实际意义

12、来判 断。 八、多元函数积分学 1、二重积分 二重积分的定义及性质、二重积分存在定理、二重积分的计算（直角 坐标、极坐标）、二重积分在几何、物理中的应用； 2、曲线积分 曲线积分的定义及性质、曲线积分的计算、格林（Green）公式、平面 曲线积分与路径无关的条件。 教学提示： 本章的重点二重积分的计算法，对坐标的曲线积分计算法，难点为对坐标的曲线积分 概念及计算。 注 10 二重积分化为二次积分，只作几何说明； 20 对于曲线积分，只讲平面情形； 30 会用格林公式及路径无关条件计算曲线积分。 九、无穷级数 1、常数项级数 无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛 的必要条件，正项级数的比值审敛法和比较审敛法，交错级数、莱不尼兹定理、绝对收敛 和条件收敛概念； 2、幂级数 幂级数的概念，阿贝尔(Abel)定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂 级数的性质（四则运算、和的连续性、逐项积分、逐项微分），泰勒(Taylor)公式，泰勒 级数，函数展开为幂级数。 教学提示： 本章的重点为求幂级数的收敛区间，函数的幂级数展开式，难点为正项级数的比较审 敛法，展函数为幂级数。