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1、高等数学() Higher Mathematics 课程编号:10021002 学时: 144 学分:9 课程性质:必修 选课对象:思想政治专业、国际贸易专业等 内容概要:本课程主要包含微积分、空间解析几何和常微分方程三个部分。介绍一元及多 元微积分等方面的基本概念、基本理论、基本方法和基本应用,培养学生的数学基本能力 以及综合应用所学知识解决实际问题的能力。 建议选用教材:高等数学(上、下册) 合肥工业大学数学教研室编 主要参考书:应用高等数学(上、下册)翟向阳主编 上海交通大学出版社 高等数学教学大纲 学时:144 学分:9 教学大纲说明 一、课程的目的与任务 高等数学是高等学校工科专科各
2、专业学生的一门必修的重要基础课,它是为培养社会主 义建设需要的工程技术人员服务的。通过这门课程的学习,使学生获得向量代数与空间解 析几何、微积分、常微分方程及无穷级数的基本知识,必要的基础理论和常用的运算方 法,并注意培养学生的运算能力和初步的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力,从而使学 生获得解决实际问题能力的初步训练,为学习后继课程奠定必要的数学基础。 二、课程的基本要求 1、 正确理解下列基本概念以及它们之间的内在联系,函数、极限、连续、导数、微分、 不定积分、定积分、偏导数、全微分、二重积分,函数的幂级数展开式,二阶常系数线性 微分方程。 2、正确理解并牢固掌握下列基本定理和公式 拉格朗
3、日定理、牛顿-莱布尼兹公式,基本初等函数的导数公式,基本积分公式,函 数,和的幂级数展开式。 3、熟练运用下列法则和方法 函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则,第一种换元积分法、分部 积分法、二重积分的计算法、可分离变量的一阶微分方程的解法,一阶线性微分方程和一 阶常系数线性微分方程的解法。 4、会运用向量、微积分和常微分方程的方法解决一些简单的实际问题。 三、与其它课程的联系与分工 1、作为数学概念的引例的物理、力学问题(如速度、质量、流量、物体的振动等),可 根据专业需要选讲,以便将来在相应学科讲述这些内容时,学生易于接受。 2、根据教学计划,各专业讲授普通物理与理论力学时间
4、不同,需用到的常微分方程和 向量代数等内容,可根据实际情况提前讲授。 四、教学形式与学时分配 章 次内 容总学时数课程讲授学时数习题时数一函数、极限、连续14122二导数与微分 14104三中值定理及应用14122四一元函数积分学24204五向量代数与空间解析几何14122六 常微分方程14122七多元函数微分学14122八多元函数积分学20164九无穷级数 16142 合 计14412024 五、课程的性质及适应对象 思想政治专业、国际贸易专业等。 教学大纲内容 一、函数、极限、连续 1、函数 函数的定义、函数的性质、反函数、基本初等函数、复合函数、分段函 数、初等函数。 2、极限 数列极限
5、定义、函数极限的定义、函数的左右极限、无穷小与无穷大、无 穷小与函数极限的关系、极限的四则运算、两个重要极限、无穷小比较、等价无穷小。 3、函数的连续性 函数的连续定义、间断点、连续函数的和、差、积、商的连续 性,反函数与复合函数的连续性,基本初等函数和初等函数的连续性,闭区间上连续函数 的最大、最小值定理及介值定理。 教学提示: 本章的重点是要求理解函数、极限及连续函数概念,掌握求极限的一些基本方法,难 点是建立实际问题中的函数关系式。 注 10 极限定义,只要求用叙述性定义,可以不用-或-方式; 20 极限的有关性质(如四则运算、数列极限有界性、无穷小运算性质等)不要求 证明。 二、导数与
6、微分 1、导数 导数的定义、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间关系、函数的 和、差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、基本初等函数的 导数公式、隐函数求导、由参数方程所确定函数的求导法则、对数求导法、高阶导数。 2、微分 微分的定义、微分的几何意义、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、 微分在近似计算中应用。 教学提示: 本章的重点是要求理解导数与微分概念,导数的几何意义,难点是复合函数求导法 则。 注 10 可适当配置变化率等例题,使学生了解导数在实际问题中的具体应用; 20 导数公式可适当推导证明,导数运算要求熟练; 30 通过实例引入微分概念,突出函数局部线性
7、化思想,近似计算不作繁难题。 三、中值定理与导数应用 1、中值定理 罗尔(Rool)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、罗必塔(LHopital)法 则; 2、导数应用 函数的增减性及其判别法,函数的极值及其求法,最大值、最小值及 其应用问题,曲线凸凹性及其判定,拐点及其求法,水平与垂直渐近线,函数图形描绘, 弧微分,曲率定义及其计算公式。 教学提示: 本章的重点是拉格朗日定理、罗必塔法则、函数增减性的判定、函数的极值、最大 值、最小值及其应用问题,难点为最大值、最小值应用问题。 注 10 拉格朗日定理可以不给出证明,仅给出几何说明,罗尔定理可作为特例; 20 罗必塔法则可不证,应用重点是
8、或型。 四、一元函数积分学 1、不定积分 原函数与不定积分定义、不定积分性质、基本积分公式、换元积分 法、分部积分法、几类可积函数(有理函数、三角函数有理式及简单无理函数)积分举 例、积分表的使用。 2、定积分及其应用 定积分的定义、定积分存在定理、定积分性质、定积分中值定理、变上限函数及其求 导、牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式,定积分的换元积分与分部积分法、定积分元 素法在几何、物理中的应用,两种广义积分。 教学提示: 本章的重点是不定积分、定积分概念、牛顿-莱布尼兹公式,难点是变上限函数及其 求导,元素法。 注 10 定积分存在定理与定积分换元法不证; 20 积分计算
9、的练习着重在基本运算方面、淡化这方面技巧; 30 变上限函数的求导不宜过难; 40 会用元素法求解几何中(面积、体积、弧长)及物理中(功、压力等)。 五、向量代数与空间解析几何 1、向量代数 空间直角坐标系 两点间距离公式 向量的概念、向量的加、减法、向量与数量的求法、向量轴上的投影、向量的分解与 向量的坐标、向量的模单位向量、方向余弦、方向数、向径、向量的数量积、向量的向量 积、两向量的夹角、两向量垂直与平行的条件。 2、平面与空间直线、平面的方程(点法式、一般式)、直线的方程(一般式、对称 式、参数式)、两平面关系、两直线关系、平面与直线之关系。 3、二次曲面与空间曲线 曲面方程概念、二次
10、曲面(椭球面、双曲面、抛物面、锥面、旋转面),空间曲线方 程概念。 教学提示: 本章比较容易,重点为向量的数量积、向量的向量积、平面与直线方程。 六、常微分方程 1、微分方程一般概念、微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解; 2、一阶微分方程 可分离变量齐次方程、线性方程、贝努力方程; 3、二阶线性微分方程 线性微分方程解的结构、二阶常系数齐次微分方程、二阶常 系数齐次微分方程。 教学提示: 本章重点是可分离变量、二阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程,难点:建立 微分方程。 注 微分方程应用较难,可通过一定的实例来说明,具体亦可穿插到各个部分以分散难 点。 七、多元函数微分学 1、多
11、元函数 多元函数的定义、区域,二元函数的几何表示,二元函数的极限与连 续性,有界闭区域上连续函数的性质。 2、偏导数与全微分 偏导数的定义,二元函数、偏导数的几何意义,高阶偏导数, 混合偏导数,可交换求导次序的条件,全微分定义与几何意义,全微分存在的充分条件, 多元复合函数的求导法则,全导数、隐函数求导; 3、偏导数的应用,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,多元函数的极 值及其求法。 教学提示: 本章的重点是偏导数与全微分的概念,多元复合函数求导法则,难点:仍为多元复合 函数求导。 注 10 高阶偏导数不作过高要求; 20 极值存在的充分条件不证,应用中的最大、最小值问题可按实际意义
12、来判 断。 八、多元函数积分学 1、二重积分 二重积分的定义及性质、二重积分存在定理、二重积分的计算(直角 坐标、极坐标)、二重积分在几何、物理中的应用; 2、曲线积分 曲线积分的定义及性质、曲线积分的计算、格林(Green)公式、平面 曲线积分与路径无关的条件。 教学提示: 本章的重点二重积分的计算法,对坐标的曲线积分计算法,难点为对坐标的曲线积分 概念及计算。 注 10 二重积分化为二次积分,只作几何说明; 20 对于曲线积分,只讲平面情形; 30 会用格林公式及路径无关条件计算曲线积分。 九、无穷级数 1、常数项级数 无穷级数及其收敛与发散的定义,无穷级数的基本性质,级数收敛 的必要条件,正项级数的比值审敛法和比较审敛法,交错级数、莱不尼兹定理、绝对收敛 和条件收敛概念; 2、幂级数 幂级数的概念,阿贝尔(Abel)定理,幂级数的收敛半径与收敛区间,幂 级数的性质(四则运算、和的连续性、逐项积分、逐项微分),泰勒(Taylor)公式,泰勒 级数,函数展开为幂级数。 教学提示: 本章的重点为求幂级数的收敛区间,函数的幂级数展开式,难点为正项级数的比较审 敛法,展函数为幂级数。