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1、江西省吉安市第一中学2015年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）A. 4B. C. D. 2. 一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A. B. C. D. 3. 命题“”为假命题，是“”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在正方体中，M、N分别为棱和的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 5. A、B两点相距，且A、B与平面的距离分别为和，则AB与平面所成角的大小是（
2、）A. 30B. 60C. 90D. 30或90 6. 某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（ ）A. B. C. D. 7. 正三棱锥中，APB=BPC=CPA=90，PA=PB=PC=，点M是AB的中点，一只蚂蚁沿锥体侧面由点M运动到点C，最短路线长是（ ）A. B. C. D. 8. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9. 设点，若在圆上存在点N，使得OMN=30，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10
3、且到直线的距离为9的点的轨迹是（ ）A. 一个圆B. 两条直线C. 四个点D. 两个点 11. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 如图，正方体，则下列四个命题：在直线上运动时，三棱锥的体积不变；在直线上运动时，直线AP与平面所成角的大小不变；在直线上运动时，二面角的大小不变；M是平面上到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是过点的直线其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第II卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分） 13. 若“或”是假命题，则的取值范围是_。（最后结果用区间表示） 14. 以棱长为1
4、的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为_。 15. 已知直线及直线0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是_。 16. 下列四个命题：圆与 直线相交，所得弦长为2；直线与圆恒有公共点；若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为；若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为。其中，正确命题的序号为_。（写出所有正确命的序号）三、解答题：（共6大题，10+12+12+12+12+12=70分） 17. 已知且，直线和。（1）求直线的充分条件；（2）当时，直线恒在轴上方，求的取值范围。 18. 如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的
5、中点。求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD。 19. 设命题：函数的定义域为R；命题对一切的实数恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数的取值范围。 20. 圆M的圆心在直线上，且与直线相切于点A（2，-1），（1）试求圆M的方程；（2）从点P（3，1）发出的光线经直线反射后可以照在圆M上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围。 21. 如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点。（1）在棱AB上找一点Q，使QP平面AMD，并给出证明；（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的
6、余弦值。 22. 如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点。（1）若，求AMN的面积；（2）过点P（）作圆O的两条切线，切点分别为E，F，求；（3）若，求证：直线MN过定点。参考答案：第I卷（选择题） 1. C2. D3. A4. B5. D6. C7. D8. B9. A10. C 11. C12. C第II卷（非选择题） 13. 14. 15. 16. 、三、解答题 17. 【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）当两直线斜率存在时，两直线平行的充要条件是斜率相等，截距不等，故且。（2）可以从函数的角度去分析，时，单调递增，只需；时
7、，单调递减，只需。试题解析：（1）由题意得，解得。当时，此时。（2）设法1：由题意得即解得。法2：或解得。 18. 【解析】（1）E，F分别是AB，BD的中点，EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是BD的中点，CFBD又EFCF=F，BD面EFC，BD面BCD，面EFC面BCD 19. 【答案】【解析】试题解析：命题：对于任意的0恒成立，则需满足 4分因为“且”为假命题，所以至少一假（1）若真假，则且，是空集。（2）若假真，则且（3）若假假，则且所以 20. 【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1
8、）由题意知：过A（2，-1）且与直线垂直的直线方程为：圆心在直线：上，由即M（1，-2），且半径，所求圆的方程为：。（2）圆M关于直线对称的圆为，设发出光线为。化简得，由得，所以发出光线所在直线的斜率取值范围为。 21. 【答案】试题解析：（1）当BQ=AB时，有QP平面AMD。证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MDNB，所以，又，所以，所以在MAB中，OPAM。又OP面AMD，AM面AMD，OP面AMD。（2）以DA、DC、DM所在直线分别为轴、轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以（0，-
9、2，2），（2，0，1），（0，2，0），设平面CMN的法向量为（），则，所以，所以=（1，-2，-2）。又NB平面ABCD，NBDC，BCDC，DC平面BNC，平面BNC的法向量为（0，2，0）设所求锐二面角为，则。 22. 【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】试题解析：（1）由题知，得直线AM的方程为，直线AN的方程为所以，圆心到直线AM的距离，所以，由题知，所以ANAM，。（2），所以。所以，所以（3）由题知直线AM和直线AN的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线AM的方程，则直线AN的方程为，所以，联立方程，所以，得或所以，同理，因为轴上存在一点D（）所以，同理。所以，所以，直线MN过定点
