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1、江西省吉安市第一中学2015年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1. 直线与直线平行,则它们之间的距离为( )A. 4B. C. D. 2. 一束光线自点P(1,1,1)发出,遇到平面被反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光所走的路程是( )A. B. C. D. 3. 命题“”为假命题,是“”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在正方体中,M、N分别为棱和的中点,则的值为( )A. B. C. D. 5. A、B两点相距,且A、B与平面的距离分别为和,则AB与平面所成角的大小是(
2、)A. 30B. 60C. 90D. 30或90 6. 某圆的圆心在直线上,并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8,则该圆的方程为( )A. B. C. D. 7. 正三棱锥中,APB=BPC=CPA=90,PA=PB=PC=,点M是AB的中点,一只蚂蚁沿锥体侧面由点M运动到点C,最短路线长是( )A. B. C. D. 8. 某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4 9. 设点,若在圆上存在点N,使得OMN=30,则的取值范围是( )A. B. C. D. 10. 已知平面平面,直线,点,平面、间的距离为8,则在内到点P的距离为10
3、且到直线的距离为9的点的轨迹是( )A. 一个圆B. 两条直线C. 四个点D. 两个点 11. 当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是( )A. B. C. D. 12. 如图,正方体,则下列四个命题:在直线上运动时,三棱锥的体积不变;在直线上运动时,直线AP与平面所成角的大小不变;在直线上运动时,二面角的大小不变;M是平面上到点D和距离相等的点,则M点的轨迹是过点的直线其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第II卷(非选择题)二、填空题:(本大题共4小题;每小题5分,共20分) 13. 若“或”是假命题,则的取值范围是_。(最后结果用区间表示) 14. 以棱长为1
4、的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为_。 15. 已知直线及直线0截圆C所得的弦长均为10,则圆C的面积是_。 16. 下列四个命题:圆与 直线相交,所得弦长为2;直线与圆恒有公共点;若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为;若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为。其中,正确命题的序号为_。(写出所有正确命的序号)三、解答题:(共6大题,10+12+12+12+12+12=70分) 17. 已知且,直线和。(1)求直线的充分条件;(2)当时,直线恒在轴上方,求的取值范围。 18. 如图,在四面体ABCD中,CB=CD,ADBD,点E,F分别是AB,BD的
5、中点。求证:(1)直线EF面ACD;(2)平面EFC面BCD。 19. 设命题:函数的定义域为R;命题对一切的实数恒成立,如果命题“p且q”为假命题,求实数的取值范围。 20. 圆M的圆心在直线上,且与直线相切于点A(2,-1),(1)试求圆M的方程;(2)从点P(3,1)发出的光线经直线反射后可以照在圆M上,试求发出光线所在直线的斜率取值范围。 21. 如图,在七面体ABCDMN中,四边形ABCD是边长为2的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=2,NB=1,MB与ND交于P点。(1)在棱AB上找一点Q,使QP平面AMD,并给出证明;(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的
6、余弦值。 22. 如图,在直角坐标系中,圆与轴负半轴交于点A,过点A的直线AM,AN分别与圆O交于M,N两点。(1)若,求AMN的面积;(2)过点P()作圆O的两条切线,切点分别为E,F,求;(3)若,求证:直线MN过定点。参考答案:第I卷(选择题) 1. C2. D3. A4. B5. D6. C7. D8. B9. A10. C 11. C12. C第II卷(非选择题) 13. 14. 15. 16. 、三、解答题 17. 【答案】(1);(2)。【解析】试题分析:(1)当两直线斜率存在时,两直线平行的充要条件是斜率相等,截距不等,故且。(2)可以从函数的角度去分析,时,单调递增,只需;时
7、,单调递减,只需。试题解析:(1)由题意得,解得。当时,此时。(2)设法1:由题意得即解得。法2:或解得。 18. 【解析】(1)E,F分别是AB,BD的中点,EF是ABD的中位线,EFAD,EF面ACD,AD面ACD,直线EF面ACD;(2)ADBD,EFAD,EFBD,CB=CD,F是BD的中点,CFBD又EFCF=F,BD面EFC,BD面BCD,面EFC面BCD 19. 【答案】【解析】试题解析:命题:对于任意的0恒成立,则需满足 4分因为“且”为假命题,所以至少一假(1)若真假,则且,是空集。(2)若假真,则且(3)若假假,则且所以 20. 【答案】(1);(2)【解析】试题解析:(1
8、)由题意知:过A(2,-1)且与直线垂直的直线方程为:圆心在直线:上,由即M(1,-2),且半径,所求圆的方程为:。(2)圆M关于直线对称的圆为,设发出光线为。化简得,由得,所以发出光线所在直线的斜率取值范围为。 21. 【答案】试题解析:(1)当BQ=AB时,有QP平面AMD。证明:因为MD平面ABCD,NB平面ABCD,所以MDNB,所以,又,所以,所以在MAB中,OPAM。又OP面AMD,AM面AMD,OP面AMD。(2)以DA、DC、DM所在直线分别为轴、轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2)N(2,2,1),所以(0,-
9、2,2),(2,0,1),(0,2,0),设平面CMN的法向量为(),则,所以,所以=(1,-2,-2)。又NB平面ABCD,NBDC,BCDC,DC平面BNC,平面BNC的法向量为(0,2,0)设所求锐二面角为,则。 22. 【答案】(1);(2);(3)见解析【解析】试题解析:(1)由题知,得直线AM的方程为,直线AN的方程为所以,圆心到直线AM的距离,所以,由题知,所以ANAM,。(2),所以。所以,所以(3)由题知直线AM和直线AN的斜率都存在,且都不为0,不妨设直线AM的方程,则直线AN的方程为,所以,联立方程,所以,得或所以,同理,因为轴上存在一点D()所以,同理。所以,所以,直线MN过定点