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1、非线性随机动力学与 控制研究进展及展望 中国科学院院士 朱位秋 ( 浙江大学力学系, 杭州 310027) 摘 要: 随机动力学系用概率与统计方法研究自然界、 工程及社会中各种随机动力学过程与现象。 经一个世纪的发展, 非线性随机动力学与控制已有相当的理论方法, 主要是扩散过程理论方法。本 文概述该理论方法, 特别是作者提出与发展的非线性随机动力学与控制的 Hamilton 理论体系框 架。最后建议各领域随机动力学与控制研究者进行跨学科的合作研究。 关键词: 随机动力学 随机稳定性 随机分岔 首次穿越 随机控制 非线性系统 Recent Developments in Nonlinear St
2、ochastic Dynamics and Control Member of The CAS ZHU Weiqiu (Department of Mechanics, Zhejiang University, Hangzhou310027) Abstract: Stochastic dynamics studies various stochastic dynamical processes and phenomena in na- ture, engineering and society using probability and statistics. Af ter the devel
3、opments in the last cen- tury , nonlinear stochastic dynamics has plenty of theories and methods, among which the theory and method of diff usion processes are dominant. The present paper outlines this theory and method, es- pecially theHamiltonian theoretical f ramework of nonlinear stochastic dyna
4、mics and control proposed and developed by the present author. Finally, the collaboration of researchers in various f ields of stochastic dynamics and control is suggested. Key words: stochastic dynamics,stochastic stability,stochastic bif urcation,f irst-passage time, stochastic control, nonlinear
5、system 引言 随机动力学源于 20 世纪初 Einstein 等定量描 述布朗运动的努力。1940s至 1960s 之间, 相继发展 了随机噪声理论, 随机振动及随机结构动力学, 以满 足通信、 航空航天、 机械、 土木及海洋等工程的需求。 1980s 初, 从地球冰期的周期性研究中发现了随机 共振现象, 其后发现许多系统中都存在类似现象。 近 10 年来, 发现噪声在非线性系统中往往起着积极 的作用, 从而在化学与生物学中随机学迅速发展起 来。噪声诱发的、 噪声支持的及噪声提高的效应有 可能为神经系统中的信息传输、 脑中信息处理、 细胞 水平上的过程及酶反应等某些悬而未决问题提供解 释
6、。另一方面, 自 1960s, 数学家发展了随机稳定性 2005 年 2 月世界科技研究与发展 院士论坛 www . globesci. com Vol. 27 No. 1 第 1 页 与随机最优控制理论。近来, 随机分析与随机最优 控制理论越来越多地被应用于经济与金融领域。自 1980s 数学家又发展了随机动态系统理论, 包括随 机分岔理论。 线性系统的随机动力学与控制理论已于 1970s 趋于成熟。非线性系统的随机动力学与控制也已有 相当多的理论方法, 但尚存在许多困难有待人们去 解决。下面概述非线性随机动力学与控制研究进 展。 1 随机响应 一个有限维非线性随机动力学系统可用下列随 机微
7、分方程描述 Xi= gi(X , t ) + fik( X, t ) Fk( t ) i = 1, 2,n; j = 1, 2,n( 1) 式中 X = X1 X2,XXn T , Fk( t ) 为随机过程, 重复下标表示求和。当 Fk( t )为 Gauss白噪声时, X ( t)为 n 维扩散过程, 可用下列 Ito 随机微分方程描 述: dXi= mi( X, t) dt + Rik( X, t) dBk( t)( 2) 式中 Bk( t ) 为标准 Wiener( 布朗运动) 过程; mi、 Rik可从gi、 fik导出。 ( 2) 描述随机动力学系统的随机轨迹。感兴趣 的是非线性动
8、力学系统的概率与统计信息, 这可从 求解与( 2) 相应的 Fokker -Planck -Kolmogorov( FPK) 方程 5p 5t = 5 5xi( aip ) + 1 2 5p 2 5xi5xj ( bijp )( 3) 得到, 式中 p= p( x, t) t( x0, t0) 为转移概率密度, ai( x , t) = mi( X, t)|X= x, bij( x , t)= Rik(X , t ) Rj k(X , t )|X = x( 4) 从1933s 至 1990s 中期, 所有得到的精确平稳 解( 5p/ 5t = 0 时( 3) 之精确解) 如同统计力学中的 Ma
9、xwel- l Boltzmann 分布, 皆具有能量等分性质。其 后, 作者将非线性随机动力学的研究从 Lagrange 体 系转到 Hamilton 体系, 将非线性随机动力学系统表 示成随机激励的耗散的 Hamilton 系统, 并按相应 Hamilton 系统的可积性与共振性, 将系统分成不可 积、 可积非共振、 可积共振、 部分可积非共振、 部分可 积共振五类, 证明了 Gauss 白噪声激励下耗散的 Hamilton 系统的精确平稳解的泛函结构取决于相 应Hamilton 系统的可积性与共振性, 为五类系统得 到了五类精确平稳解, 其中不可积系统解是能量等 分的, 其余四类解是能量
10、非等分的, 从而打破 60 多 年来只有能量等分精确平稳解的局面。 要得到精确平稳解, 系统参数与激励强度需满 足相当严厉的条件, 许多实际系统不满足这种条件, 从而得不到精确平稳解。于是发展了多种 FPK 方 程的近似解析解与数值解法。 一类求系统( 1) 或( 2) 响应的近似方法是统计等 效系统法, 以一个与( 1) 或( 2) 在某种统计意义上等 效并具有精确平稳解的系统代替( 1) 或( 2) , 以等效 系统的精确平稳解作为( 1) 或( 2) 的近似平稳解。最 简单又被广泛采用的是统计线性化法, 该法适用于 无本质非线性现象的弱非线性系统, 它只给出响应 的一、 二阶矩。近 10
11、 年中, 作者提出 与发展了 Gauss 白噪声激励下多自然度耗散的Hamilton 系统 的等效非线性系统法, 提出了三种具有明确物理意 义的等效准则, 给出五种情形近似平稳解的解析表 达式, 该法适用于多自由度强非线性有本质非线性 现象的系统, 无需迭代给出响应的近似概率密度。 当随机激励输入系统的能量与阻尼耗散系统能 量之差与系统本身能量相比为小时, 系统响应中同 时存在慢变过程与快变过程, 随机平均法就是通过 对快变过程的平均得到关于慢变过程的方程, 且该 慢变过程近似为扩散过程, 可用 Ito 方程描述。早 期的随机平均法只适用于弱非线性随机系统与单自 由度强非线性随机系统。作者提出
12、与发展了拟 Hamilton 系统的随机平均法, 它适用于多自由度近 于保守的强非线性随机动力学系统, 随机激励可以 是 Gauss 白噪声、 宽带过程、 谐和与白噪声、 窄带有 界噪声。证明了随机平均方程的形式取决于相应 Hamilton 系统的可积性与共振性, 平均方程维数等 于相应哈密顿系统独立对合首次积分的个数与内外 ( 弱) 共振关系之和。该法具有若干优点。 随机激励常模型化为 Gauss过程, 这是因为, 一 方面, 很多自然界随机过程近似为 Gauss 过程, 另一 方面, Gauss 过程的数学描述与处理比较简单。但 在许多情形下, 随机激励并非 Gauss 随机过程, 如桥
13、梁受到的车辆载荷, 作用于海洋平台结构上的有随 机波浪力, 等等。近来, 在努力发展预测线性与非线 性系统对非 Gauss 随机激励的响应预测方法, 将上 述 Ito 方程、 FPK 方程、 统计线性化法等推广于非 院士论坛 世界科技研究与发展2005 年 2 月 第 2 页 Vol. 27 No. 1ww w . globesci. com Gauss 白噪声激励的线性与非线性系统响应预测。 2 随机稳定性 随机稳定性理论研究动力学系统的平凡解在随 机参激下的稳定性。随机稳定性有多种定义, 常用 的是概率为 1 Lyapunov 稳定性( 又称几乎肯定稳定 性或样本稳定性) , 概率稳定性及
14、 p 阶矩稳定性。 1960s 1980s 间, 多采用 Lyapunov 直接法或 Lya - punov 函数法研究样本稳定性。自 1980s, 多采用最 大 Lyapunov 指数研究样本稳定性。Lyapunov 指数 定义为线性化方程的响应模的渐近指数增长率, 按 Oseledec 乘法遍历定律, 最大 Lyapunov 指数为负是 系统概率为 1 渐近 Lyapunov 稳定的充要条件。 Khasminshkii 提出了一个求线性随机系统最大 Lya - punov 指数的计算步骤, 该步骤已被用于求二维线 性随机系统的最大 Lyapunov 指数与研究其稳定性。 对高维线性随机系统
15、, 发展了求最大 Lyapunov 指数 的摄动法, 迄今也只用于 2、 3 维线性随机系统。一 种可求高维随机系统最大 Lyapunov 指数近似值的 方法是对随机平均 Ito 方程运用 Khasminskii 步骤。 作者在随机稳定性与 Lyapunov 指数定义中引入新 的范数取代通常 Euclid 范数, 从随机平均方程导出 了计算拟不可积 Hamilton 系统最大 Lyapunov 指数 近似值的简单解析公式。对其余四处拟 Hamilon 系 统, 给出了在随机平均方程基础上计算最大 Lya - punov 指数的方法。该法有若干优点。此外, 还发 展了一种不用求最大 Lyapun
16、ov 指数而直接确定高 维线性随机系统概率为 1 渐近稳定域的新方法, 以 及一种利用一维扩散过程边界性质, 判定拟不可积 Hamilton 系统局部或全局概率渐近稳定性的方法。 3 随机分岔 随机分岔理论研究随机动态系统的渐近性态随 参数的变化发生的定性变化。随机分岔可分为动态 分岔或 D -分岔与现象学分岔或 P -分岔。D -分岔系 指不变测度稳定性随参数发生变化, 可用 Lyapunov 指数正负号变化来判别。无噪声时, D -分岔退化为 确定性分岔。P -分岔系指不变测度( 平稳概率密度) 的定性性质随参数的变化, 如从单峰变为双峰或变 为火山口峰。目前随机分岔理论尚处于发展初期, 只有少数一般性定理与准则, 许多现象迄今只有关 于特殊模型的数字模拟结果证实。对一维随机系统 的 D -分岔与 P -分岔已作较全面的分析。对二维随 机系统, 主要对 Duffing -vander Pol 振子随机 Hopf 分岔( 包括一次 D -分岔与一次 P -分岔) 做过较多分 析, 但对其后的分岔尚无统一结论。作者提出了一 个在随机平均方程基础上判别拟不可
