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1、函数的单调性,基础知识 一、单调性定义 1单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数对于 D，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数 说明：单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间 单调性是函数在某一区间的“整体”性质因此，定义中的x1、x2具有任意性,任意的x1、x2,任意的x1、x2,2证明单调性的步骤：(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： 取值 ； 作差 ； 变形 4 定号 5 下结论 ,任取x1、x2D，且x1 x2,作差f(x1)f(x2)，并适当变形,同增异
2、减,因式分解、通分、分子分母有理化等,与0比较大小,二、单调性的有关结论 1若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x) 函数 2若f(x)为增(减)函数，则f(x)为 函数 3若f(x)为增(减)函数，k0,kf(x)为增（减）函数. 4. 若f(x)为增(减)函数， 为减（增）函数 5yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为 ；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为 同增异减,仍为增,(减),减(增),增函数,减函数,三、函数单调性的应用有： (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小 (2)求某些
3、函数的值域或最值 (3)解证不等式 (4)作函数图象,函数单调性的证明 (1)f(x) ，x(1，)； (2)f(x)x22x1，x1，)； (3)f(x) ，x1，) 命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形,解析：(1)函数f(x) 在(1，)上为减函数 利用定义证明如下： 任取x1、x2(1，)，且1x1x2， 则有x1x20，,(2)函数f(x)x22x1在1，)上为减函数，证明如下： 任取x1、x21，)，且x2x11， x2x11，x2x10，x2x12，x2x120， f(x1)f(x2)(
4、x2x1)(x2x12)0， 即有f(x1)f(x2) 故函数f(x)x22x1在1，)上为减函数,(3)函数f(x) 在1，)上为增函数， 证明如下： 任取x1、x21，)且1x1x2， 则有x1x20，,总结评述：对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解可导函数则可以利用导数解之.,1、图像法： 利用图像判断函数单调性是常用的方法， 且该法能直接准确地求出单调区间.P38例1,单调区间的求法,2、常见函数 （1）一次函数，y=kx+b, k0,y是R上的增函数； k0,y是R上的减函数.,(3)反比例函数,(2
5、)二次函数，y=ax2+bx+c,a0 当x 时，y是增函数.,当k0时，y在,当k0时，y在,1单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间 2单调性的定义中x1，x2要有任意性，且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性例如：对函数f(x) ，由于f(1)f(2)，所以函数是单调递减函数这是错误的说法其实函数f(x) 在(，0)上是单调递增，在(0，)上是单调递增,3单调区间不能用并集表示因为两个区间的并集，并不一定是一个区间 4重要性质： (1)注意函数yf(x)与ykf(x)的单调性与k(k0)的相关性 (2)注意函数yf(x)与y 的单调性间的关系,回归教材 1下列函数
6、中，在区间(0,2)上是增函数的是( ) Ayx1 By Cyx24x5 Dy,2(教材P1601题改编)函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则 ( ) Ak Bk Ck Dk,3(教材P602题改编)反比例函数y .若k0，则函数的递减区间是_若k0，则函数的递增区间是_,4(华东师大附中)若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_,基础知识 一、函数的值域的定义 在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 ,函数值,值域,函数的值域与最值求法,函数的最值,二、基本初等函数的值域 1ykxb(k0)的值域为 . 2yax2bxc(a0)的值域
7、是 当a0时，值域为 ； 当a0时，值域为 . 3y (k0且x0)的值域是 ,R,y|yR且y0,三、确定函数的值域的原则 1当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合 2当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指 3当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定 4当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定,图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合,四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有： 1直接法（图像法、列表法）从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围，如yx-1(x3)的值域为 例P39
8、，例3 2配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)ax2bxc的函数的值域问题，均可使用配方法，如yx2-2x的值域为 ,2，),(-1，),3.单调性法通过判断函数在给定区间的单调性，若为单调函数，则区间端点的函数取值即为函数的最值，且最值的范围即函数的值域. 例P39，例4 P40，例5,4反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域形如y (a0)的函数的值域，均可使用反函数法.此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，,5判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函
9、数的值域形如y (a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解如y 的值域为 ,2,1,6换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形如yaxb (a、b、c、d均为常数，且a0)的函数常用此法求解，如yx 的值域为 ,1，),【例1】 求下列函数的值域 (1)y4 ； (2)y2x ；,(3)y=,【例2】 求下列函数的值域： (1)y ；(2)y .,1求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种基本方法的基础上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法解决 2求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用 3遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题时，应对字母进行合理的分类讨论,
