《随机过程s.p.113.1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程s.p.113.1)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平稳过程平稳过程 本章讨论一类更为特殊的二阶矩过程本章讨论一类更为特殊的二阶矩过程宽平稳过程宽平稳过程 平稳过程平稳过程是一类统计特性不随时间而发生改变的是一类统计特性不随时间而发生改变的 随机过程随机过程.平稳过程平稳过程在实际中有广泛的应用在实际中有广泛的应用,在通在通 讯讯,雷达等随机信号处理中有重要的作用雷达等随机信号处理中有重要的作用. 主要内容主要内容 严平稳过程与宽平稳过程的定义严平稳过程与宽平稳过程的定义 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性 平稳过程的谱分析平稳过程的谱分析 一 平稳过程的定义一 平稳过程的定义 定义定义 (严
2、平稳过程严平稳过程) 设X=X(t),tT是随机过程,如果对任意的n1, 1212 12 12 , ,T,T (X( ),X( ),X( ) (X(),X(),X() , nn n n t ttttt nttt ttt + + ? ? ? 和实数 ，当时， 维随变量 和 有相同的联合分布函数 即 1212 1212 ( , , ;,) (,;,) nn nn F t ttx xx F tttx xx = + ? ? niRxt nn , 2 , 1,T,?= 则称X=X(t),tT是 严平稳过程严平稳过程. 说明说明 1.严平稳过程的有限维分布不随时间的推移而改变严平稳过程的有限维分布不随时间
3、的推移而改变 特别特别其一维分布函数与时间t无关. 其二维分布函数与仅与时间间隔有关. 2.若二阶矩过程是严平稳过程若二阶矩过程是严平稳过程,则其均值函数是常数则其均值函数是常数, 相关函数是时间间隔的函数相关函数是时间间隔的函数. 无关，为常数与txxdFxtxdFtmX + + =)();()( + + =),;,(),( 2121 xxtsdFxxtsRX 1212 (0,;,)x x dFts x x + = 仅与时间间隔有关系 3. 通常用定义判断一个过程的严平稳性是困难的通常用定义判断一个过程的严平稳性是困难的. 在实际中在实际中,若产生随机过程的主要物理条件在时间若产生随机过程的
4、主要物理条件在时间 进程中不变进程中不变,则过程可看作是严平稳的则过程可看作是严平稳的. 例如工作在稳定状态下的接收机例如工作在稳定状态下的接收机,其输出噪声可认为其输出噪声可认为 是严平稳的是严平稳的. 此时若要测量噪声的统计特性此时若要测量噪声的统计特性, 何时候测量都可得到何时候测量都可得到 相同结果相同结果. 4.严平稳过程也叫严平稳过程也叫狭义平稳过程狭义平稳过程或或强平稳过程强平稳过程. 由于随机过程有限维分布有时候无法确定,以下给出由于随机过程有限维分布有时候无法确定,以下给出 在理论与应用上更重要的另一种平稳过程概念.在理论与应用上更重要的另一种平稳过程概念. 定义定义 (宽平
5、稳过程宽平稳过程) 设X=X(t),tT是二阶矩过程二阶矩过程,如果 ( ) ( , (1), (2),)( , ). ( ,)( ) XX XX XX mtm Rs tT stRts Rt tT Rt tTtR + + ? ? ? （为常数） 或， 则称X=X(t),tT为宽平稳过程宽平稳过程,简称平稳过程简称平稳过程. 宽平稳过程也叫宽平稳过程也叫广义平稳过程广义平稳过程或或弱平稳过程弱平稳过程. 以后说到平稳过程指宽平稳过程 注意 一般情况下注意 一般情况下 1. 严平稳过程不一定是宽平稳过程严平稳过程不一定是宽平稳过程. 但对二阶矩过程 严平稳过程一定是宽平稳过程但对二阶矩过程 严平稳
6、过程一定是宽平稳过程. 2. 宽平稳过程也不一定是严平稳过程宽平稳过程也不一定是严平稳过程. 3. 对正态过程宽平稳性与严平稳性是等价的对正态过程宽平稳性与严平稳性是等价的. 定理定理 若X(t),tT是正态过程,则X(t),tT是严平稳 过程的充要条件是X(t),tT是宽平稳过程. 证明证明 (充分性充分性) 设X(t),tT是宽平稳过程. 1212 1,; , ,T nn nR t ttttt + ?,， X(t),tT的有限维特征函数 1212 111 ( (,;,) 1 exp( 2 ),) X nn nnn kXklkkl kkl tttu uu ju mCtutut = + + =
7、 ? ()( ) XkXkX tmtmm=+由于 ()(,)( , ) ,1,2, XlkXklXkl RRtt k tt l Rt t n += =? 1212 111 (,; ( )( , ) ,) 1 exp 2 nn nnn kXkkl kkl Xkl tttu uu juu umtCt t = + = ? 1212 ( , , ;,) nn t tt u uu=? 即特征函数不随时间的推移而改变. 所以X(t),tT是严平稳过程 必要性显然. 例例1设设S(t)是周期为是周期为T的可积函数的可积函数.令令X(t)=S(t+) t(-,+ ), U0,T.称称X(t), -+= ttX bttYbtYtX
