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1、第二十一章“一元二次方程”简介课程教材研究所章建跃一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。一元二次方程的解法和实际 应用是初中阶段的核心内容。前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等，本章学习一元二次方程的解法，讨论与方程的根有关的几个基本问题（判别式与方程的根、根与系数的关系等），在此基础上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习基础，在学生的“四基”、“四能”的发展，特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：211 一元二次方程 1课时21
2、2 解一元二次方程 7课时213 实际问题与一元二次方程3课时数学活动小结 2课时一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识结构现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程。从数学知识的内部发展看，二元、三元一次方程组可以看
3、成是对一元一次方程在“元”上的推广。自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。类比二（三）元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本章学习的另一条主线。与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解。这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的机会。根据课程标准（2011年版）的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程。解一元二次方程的基
4、本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2=p和(x+n)2=p的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的如能将ax2+bx+c分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解一元二次方程的三种解法配方法、公式法和因式分解法各有特点一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性配方法是一种重要的、应
5、用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它在推导求根公式的过程中，从x2=p到(x+n)2=p再到ax2+bx+c=0，是方程形式的不断推广，体现了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程则是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想。显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的。与课程标准（实验稿）相比，课程标准（2011年版）重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化。这里不仅是为了一元二次方程理论的完整
6、性，更重要的是为了解决初高中衔接问题。实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备基础。教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念。在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧
7、面理解一元二次方程概念的契机。一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一。教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基。接着，教科书安排“探究”栏目，自然引出解(x+3)2=5并总结出“降次”的策略，从而为用配方法解比较复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=p后的解的情况。以配方法为基础，教科书安排了“探究”栏目，引导学生自主地用配方法解
8、一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，得到求根公式。最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳”栏目中总结出几种解法的基本思路、各自特点和适用范围等。上述过程的思路自然，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解。这是具有普适性的数学思想方法。由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式=b24ac的讨论。这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机。另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定（系数a，b
9、，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定），而且也反映了根与系数的联系。这里体现了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁。教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程(xx1) (xx2)=0化为x2+px+q=0的形式，x1，x2与p，q之间的关系”，在“x1+x2=p，x1x2=q”的启发下，利用求根公式求x1+x2和x1x2，进而得到根与系数的关系。让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的机会。根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重
10、要。所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度。前已述及，用一元二次方程解决实际问题是本章内容的一条主线。为了更好地体现这一思想，教科书除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外，在第三节还专门安排了三个“探究”，让学生建立一元二次方程模型解决实际问题，再一次经历如下过程：最后，在本章小结中，教科书通过知识结构图，再次强调建立一元二次方程模型解决实际问题的基本过程，并在“回顾与思考”中梳理了“降次”的基本思路、过程以及具体方法。3.本章学习目标（1）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元
11、二次方程。（2）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。（3）了解一元二次方程的根与系数的关系。（4）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。（5）能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。二、编写时考虑的几个问题1注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，它有丰富的实际背景。通过建立一元二次方程模型解决实际问题，可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系，发展学生应用意识。因此，本章的编写，自始至终都注重联系实际，从实际问题中引出一元二次方程的有关知识，并最终回到建立一元二
12、次方程模型解决实际问题中去。本章开篇，教科书利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要。接着，通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）。在讨论一元二次方程的解法时，教科书又通过简单的实际问题，引导学生分析其中的已知量、未知量和等量关系，建立一元二次方程，得出方程的解，并检验所得的结果是否符合实际，最终将问题推广，得出具有一般意义的一元二次方程的解法。在掌握解法的基础上，专门安排了“
13、实际问题与一元二次方程”，以“探究”的方式提出问题，使学生完整地经历“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程。这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生在学会一元二次方程解法的过程中，体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识。2重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解方程的基本策略对于方程及其解法，学生从小学就开始接触。进入初中后，学生又学习了一元一次方程、二元一次方程组以及可化为一元一次方程的分式方程。因此，学生对于解方程涉及的数学思想（化归）、理论依据（等式的性质、运算律）以及基本思路（通
14、过恒等变形，把方程逐步化为的形式）等都已比较熟悉。对于一元二次方程的解法，基本思路仍然是“设法把方程化为的形式”，而一元二次方程与熟悉的方程比较，差异在“次数”。因此，将“二次”降为“一次”就能使“新方程”转化为“旧方程”，这样就明确了解一元二次方程的关键问题如何降次。教科书采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，从熟悉的方程x2=p出发，经过不断推广而得到一般的ax2+bx+c=0；探究解法时，则利用“配方法”，把“新方程”化归为已解决的形式。具体过程如下：首先，根据平方根的意义，通过直接开平方得到方程x2=25的解，再推广到求方程x2=p的解，引导学生对p0，p0和p0三种情况进行讨论。然后
15、，通过分析变式(x+3)2=5的解决过程，归纳出“把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程”的思路，再给出(x+3)2=5的等价形式x2+6x+4=0，并用框图表示将x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的过程，最后归纳出“配方法”。在此基础上，引导学生讨论通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=m的形式后的解，让他们再次经历分类讨论过程。接着，再通过“探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a0)，能否也用配方法得出它的解呢？”让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经验，自主推导出求根公式。上述过程，让学生反复经历了“具体抽象”、“配方分类讨论”的过程，不仅获得了求根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形式的一元二次方程的配方，分类讨论。再接着，通过实际问题得到方程10x4.9x2=0，学生很容易想到，这个方程不需要通过配方、开平方降次，只要通过因式分解，将方程化为x(104.9x)=0，就能实现降次。然后再进行归纳，得出针对某些方程的简便解法因式分解法。实际上，这是一个“从一般到特殊”的过程，针对某些特殊形式的一元二次方程的特殊解法。数学中，一般都要在研究一般情况后，再看看有什么特殊情况。考察“特例”也是数学研究的基本思路之一。最后进行根与系数
