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1、北京市丰台区丰台第一中学2015年高三上学期期末模拟数学试卷（理）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1设集合，那么AB=(A)(B)(C)(D)2已知向量，则：“且”是“”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查，假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是(A)两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同(B)两组同学的样本平均数一定相
2、等(C)两组同学的样本标准差一定相等(D)该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同4已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，那么a等于(A)l (B)2 (C)4 (D)l或45已知函数的图象如图所示， 那么函数的图象可能是62014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表，其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A)种(B)种(C)种(D
3、)种7如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是8在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是(A)(B)(C)(D)第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是_10等差数列的前n项和为，如果，那么等于_.11执行如图所示的程序框图，则输出的结果是_. 12若变量x，y满足条件且的最大值是10，则k的值是_.13过点作圆的切线，切点为N，如果，那
4、么切线的斜率是_；如果，那么的取值范围是_.14设函数的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数T为函数的“似周期”。现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；函数是“似周期函数”；函数”是“似周期函数”；如果函数是“似周期函数”，那么“”其中真命题的序号是_（写出所有满足条件的命题序号）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题共13分）已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）求函数在区间上的最大值和最小值及相应的的值16（本小题共13分）某市为
5、了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（I）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的概率；（）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上的人数记为X，求X的分布列及数学期望（注：频率可以视为相应的概率）17（本小题共14分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA底面ABCD，M是棱PD的中点
6、，且PA =AB =AC =2，（I）求证：CD平面PAC；（）求二面角的大小；（）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值18（本小题共13分）已知函数.（I）求函数的极小值；（II）如果直线与函数的图象无交点，求k的取值范围.19（本小题共14分）已知椭圆的右焦点，点在椭圆C上.（I）求椭圆C的标准方程；（II）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果OAB的面积为（为实数），求的值.20（本小题共13分）已知数列满足.（I）求证：当时，数列为等比数列；（II）如果，求数列的前n项和；（III）如果表示不超过的最大整数，当时
7、，求数列的通项公式.北京市丰台区丰台第一中学2015年高三上学期期末模拟数学试卷（理）答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案DADCBBAD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分91015112012513； 14注：第13题第一个空2分；第二个空3分。三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15解：(I)6分(II)因为所以所以：当，即时，；当，即时，13分所以当时，函数有最大值是2；当时，函数有最小值是16解：(I)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：2分 (II)设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A答：被抽到的这名
8、同学考试成绩在80分以上的概率为0.46分(III)由(II)知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为，X可能的取值是0,1,2,3X的分布列为：X0123P12分 所以13分(或，所以)17证明：(I)连结AC因为为在中，所以，所以因为AB/CD，所以又因为地面ABCD，所以因为，所以平面PAC4分(II)如图建立空间直角坐标系，则因为M是棱PD的中点，所以所以，设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量所以因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为4分(III)因为N是棱AB上一点，所以设，设直线CN
9、与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以解得，即，所以14分18解：(I)函数的定义域为因为，所以令，则00最小值所以当时函数有极小值6分(II)函数当时，所以要使与无交点，等价于恒成立令，即，所以当时，满足与无交点； 当时，而，所以，此时不满足与无交点当时，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，由，得，即与无交点综上所述，当时，与无交点13分19解：(I)由题意知：根据椭圆的定义得：，即所以所以椭圆C的标准方程为4分(II)由题意知：的面积，整理得当直线l的斜率不存在时，l的方程是此时，所以当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，设，由可得显然，则因为， 所以所以，此时，综上所述，为定值14分20解：(I)当时，设，则当时，因为，所以为常数因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列4分(II)由(I)知时为首项为，公比为的等比数列，所以，设，则相减得设，即9分(III)由(I)可知设，由二项式定理可知为整数所以所以13分
