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1、线性代数机算与应用作业题学号： 07096032 姓名： 周宇香 成绩： 一计算题1已知向量组，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。解：b = 3 1 2 9 0 4 1 3 3 8 0 0 0 2 -2 8 2 6 1 21 3 2 1 2 10rref(b) 1 0 1 0 2 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0最大线性无关组为1,2,4a3=a1-a2 a5=2a1+3a2-a4（参见线性代数机算与应用指导（MATLAB版）的例3.2）2求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。（1）；（2）（参见线性代数机算与应用
2、指导（MATLAB版）的例4.3，例4.5）解：(1) V = 0.9357 0.3279 0.1303 -0.3518 0.8961 0.2706 -0.0280 -0.2990 0.9538D = 0.1582 0 0 0 3.7297 0 0 0 27.1121A为正定矩阵(2) V = -0.3810 0.9059 0.1850 0.4005 -0.0186 0.9161 0.8334 0.4231 -0.3557D = -25.3404 0 0 0 -19.5947 0 0 0 -7.0649B为负定矩阵3. 用正交变换法将下列二次型化为标准形。其中“”为自己学号的后三位。（参见线性
3、代数机算与应用指导（MATLAB版）的例4.4）解:K1=0 ,K2=1.5,K3=1A = 1.0000 0 1.5000 0 2.0000 1.0000 1.5000 1.0000 3.0000 V,D=eig(A)V = 0.8194 0.4156 0.3948 0.2635 -0.8847 0.3845 -0.5091 0.2110 0.8345D = 0.0681 0 0 0 1.7615 0 0 0 4.1704 syms y1 y2 y3 y=y1;y2;y3; X=vpa(V*y,2) X = .82*y1+.26*y2-.51*y3 .42*y1-.88*y2+.21*y3
4、.39*y1+.38*y2+.83*y3 f=y.*D*y f = 2452185874569821/36028797018963968*y12+3966577709702439/2251799813685248*y22+4695479777624217/1125899906842624*y32 即，f=2452185874569821/36028797018963968y12+3966577709702439/2251799813685248y22+4695479777624217/1125899906842624y32二、应用题1在某网格图中，每一个节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点
5、的值有如下关系：，其中系数；。如图所示，如：。请计算该网格节点1，2，3，4的值（计算结果按四舍五入保留小数点后1位）。（参见线性代数机算与应用指导（MATLAB版）的例6.1）解：系数矩阵E = 1.0000 -0.3000 -0.2000 0 -0.4000 1.0000 0 -0.2000 -0.3000 0 1.0000 -0.3000 0 -0.3000 -0.4000 1.0000结果F = 25 15 18 8答案 t=EF 45.8452 40.8266 42.9863 37.44252假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有12%的市区居民搬到郊区；
6、而有10%的郊区居民搬到市区。若开始有800000人口居住在市区，200000人口居住在郊区。那么，20年后市区和郊区的人口数各是多少？（参见线性代数机算与应用指导（MATLAB版）的例12.1）解：D=0.88 0.1;0.12 0.9D = 0.8800 0.10000.1200 0.9000d=800000;200000d = 800000 200000e=D20*de = 1.0e+005 * 4.56955.4305故20年后 市区居民4.5695*e005 郊区居民 504305*e0053.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表1所示。表1混凝土
7、的配方型号1混凝土型号2混凝土型号3混凝土水101010水泥222618砂323129石子536450灰058现在有一个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为：24，52，73，133，12。那么，能否用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土？如果需要这种混凝土520吨，问三种混凝土各需要多少？（参见线性代数机算与应用指导（MATLAB版）的例11.1）解：能配出需要型号的混凝土M=10 10 10;22 26 18;32 31 29;53 64 50;0 5 8M = 10 10 10 22 26 18 32 31 29 53 64 50 0 5 8N=24;52;73;13
8、3;12N = 24 52 73 133 12x=MNx = 0.6000 0.80001.0000即0.6份型号1混凝土 0.8份型号2混凝土 1份型号3混凝土如果需要520吨这种混凝土，则需要型号1混凝土 520*6/24=130吨型号2混凝土 520*8/24=173.33吨型号3混凝土 520*10/24=216.67吨4某城市有如下图所示的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段该路段的车流量。若针对每一个十字路口（节点），进入和离开的车辆数相等。请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量。（参见线性代数机算与应用指导（MATLAB版）的例7.1）解：A=-1 1 0 0;0 1 -1 0;0 0 1 -1;1 0 0 -1;b=100 72 37 9;B=A b;n=4;rankA=rank(A)rankB=rank(B)format ratif rankA=rankB & rankA=n X=Abelseif rankA=rankB & rankA In Untitled at 11X = 9 109 37 0 C = 1 1 1 1 所以原方程组的通解为X=k(1,1,1,1)T+(9,109,37,0)T 7 / 7
