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1、第9讲 函数模型及其应用基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是 ()x45678910y15171921232527A一次函数模型 B幂函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析根据已知数据可知,自变量每增加1函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型答案A2(2015合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A,C图象符合要求,而后
2、3年年产量保持不变,故选A.答案A3(2014北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为()A10 B11 C13 D21解析设该企业需要更新设备的年数为x,设备年平均费用为y,则x年后的设备维护费用为242xx(x1),所以x年的平均费用为yx1.5,由均值不等式得yx1.52 1.521.5,当且仅当x,即x10时取等号,所以选A.答案A4(2014孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,
3、我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.答案B5. 某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差 ()A10元 B20元 C30元 D.元解析设A种方式对应的函
4、数解析式为sk1t20,B种方式对应的函数解析式为sk2t,当t100时,100k120100k2,k2k1,t150时,150k2150k1201502010.答案A二、填空题6.(2014辽宁六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出A从甲地自东向西行驶B从乙地自北向南行驶,A的速度是40 kmh,B的速度是 16 kmh,经过_小时,AB间的距离最短解析设经过x h,A,B相距为y km,则y(0x),求得函数的最小值时x的值为.答案7(2015长春模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 ya
5、ebt(cm3),经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过_min,容器中的沙子只有开始时的八分之一解析当t0时,ya,当t8时,yae8ba,e8b,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即yaebta,ebt(e8b)3e24b,则t24,所以再经过16 min.答案168.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为_m.解析设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得,解得y40x,所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40),当x20时,Smax400.答案20三、解答题9(2014郑州模拟)某化工厂引进一条先进
6、生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000,已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?解(1)每吨平均成本为(万元)则482 4832,当且仅当,即x200时取等号年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元(2)设年获得总利润为R(x)万元则R(x)40xy40x48x8 000 88x8 000 (x220)21 680(0x210)R(x)在0,210上是增函数,
7、x210时,R(x)有最大值为(210220)21 6801 660.年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元10.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中:这种消费品的进价为每件14元;该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;(2
8、)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解设该店月利润余额为L元,则由题设得LQ(P14)1003 6002 000,由销量图易得Q代入式得L(1)当14P20时,Lmax450元,此时P19.5元;当20P26时,Lmax元,此时P元故当P19.5元时,月利润余额最大,为450元(2)设可在n年后脱贫,依题意有12n45050 00058 0000,解得n20.即最早可望在20年后脱贫能力提升题组(建议用时:25分钟)11为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理为:发送
9、方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密)现在加密密钥为 ykx3,如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“”,则解密后得到的明文是()A. B. C2 D.解析由题目可知加密密钥ykx3是一个幂函数型,由已知可得,当x4时,y2,即2k43,解得k.故yx3,显然令y,则x3,即x3,解得x.答案A12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为()Ax15,y12 Bx12,y15Cx14,y10 Dx10,y14解析由三角形相似得.得x(24y),Sx
10、y(y12)2180,当y12时,S有最大值,此时x15.答案A13一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN*)件当x 20时,年销售总收入为(33xx2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)的函数关系式为_,该工厂的年产量为_件时,所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)解析当0x20时,y(33xx2)x100x232x100;当x20时,y260100x160x.故y(xN*)当0x20时,yx232x100(x16)2156,x16时,yma
11、x156.而当x20时,160x140,故x16时取得最大年利润答案y(xN*)1614已知某物体的温度(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律:m2t21t(t0,并且m0)(1)如果m2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度;(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围解(1)若m2,则22t21t2,当5时,2t,令2tx1,则x,即2x25x20,解得x2或x(舍去),此时t1.所以经过1分钟,物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度,即2恒成立亦m2t2恒成立,亦即m2恒成立令x,则0x1,m2(xx2),由于xx2,m.因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是.6