《2018届高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题五 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题五 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系 理（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲空间点、线、面的位置关系,考情分析,总纲目录,考点一 空间线、面位置关系的判断,典型例题 (2016课标全国,14,5分),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命 题: 如果mn,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m,那么m. 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号),答案 解析 对于命题,可运用长方体举反例证明其错误: 如图,不妨设AA为直线m,CD为直线n,ABCD所在的平面为,ABCD所在 的平面为,显然这些直线和平面满足题目条件,但不成立. 命题正确,证明如下:设过直线n的某平面与平面相交于直线l,则ln, 由
2、m知ml,从而mn,结论正确. 由平面与平面平行的定义知命题正确. 由平行的传递性及线面角的定义知命题正确.,方法归纳 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解决问 题; (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察 线、面位置关系,并结合有关定理进行判断.,跟踪集训 1.(2017湖南湘中名校高三联考)已知m,n是两条不同的直线,是三个 不同的平面,下列命题中正确的是 ( ) A.若m,n,则mn B.若m,m,则 C.若,则 D.若m,n,则mn,答案 D 对于选项A,两直线可能平行,相交或异面;对于选项B,两平面 可
3、能平行或相交;对于选项C,两平面可能平行或相交;对于选项D,由线 面垂直的性质定理可知结论正确.,2.(2017新疆第二次适应性检测)设m,n是不同的直线,是不同的平 面,有以下四个命题:若,则; 若,m,则m; 若m,m,则; 若mn,n,则m. 其中正确命题的序号是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 对于,因为平行于同一个平面的两个平面相互平行,所以 正确;对于,当直线m位于平面内,且平行于平面,的交线时,满足条 件,但显然此时m与平面不垂直,因此不正确;对于,在平面内取直 线n平行于m,则由m,mn,得n,又n,因此有,正确;对于 ,直线m可能位于平面内,显然此时m与平面不平行,
4、因此不正确. 综上所述,正确命题的序号是,故选A.,考点二 空间线面平行、垂直关系的证明 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a,b,aba. (2)线面平行的性质定理:a,a,=bab. (3)面面平行的判定定理:a,b,ab=P,a,b. (4)面面平行的性质定理:,=a,=bab.,2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl. (2)线面垂直的性质定理:a,bab. (3)面面垂直的判定定理:a,a. (4)面面垂直的性质定理:,=l,a,ala.,典型例题 (2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C
5、1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得 到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为 AD的中点,A1E平面ABCD. (1)证明:A1O平面B1CD1; (2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.,证明 (1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1, 由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱, 所以A1O1OC,A1O1=OC, 因此四边形A1OCO1为平行四边形, 所以A1OO1C. 又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1, 所以A1O平面B1CD1.,(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点, 所以EMBD, 又A1E平面ABCD,
6、BD平面ABCD, 所以A1EBD,因为B1D1BD, 所以EMB1D1,A1EB1D1, 又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E, 所以B1D1平面A1EM, 又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.,方法归纳 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定 理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.,跟踪集训 1.(2017湖北七市(州)联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数 学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的 棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的
7、组 合体中,AB=AD,A1B1=A1D1. 台体体积公式:V= (S+ +S)h,其中S,S分别为台体上、下底面的面 积,h为台体的高. (1)证明:直线BD平面MAC; (2)若AB=1,A1D1=2,MA= ,三棱锥A-A1B1D1的 体积V= ,求该组合体的体积.,解析 (1)证明:由题可知ABM-DCP是底面为直角三角形的直棱柱, AD平面MAB,ADMA, 又MAAB,ADAB=A,AD平面ABCD,AB平面ABCD, MA平面ABCD,MABD. AB=AD,矩形ABCD为正方形,BDAC, 又MAAC=A,MA平面MAC,AC平面MAC, BD平面MAC. (2)设刍童ABCD
8、-A1B1C1D1的高为h,则三棱锥A-A1B1D1的体积V= 2 2h= ,h= , 故该组合体的体积V= 1 1+ (12+22+ ) = + = .,2.(2017广西三市第一次联考)在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90, BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2. (1)求证:PCAE; (2)求证:CE平面PAB.,证明 (1)在RtABC中,AB=1,BAC=60, BC= ,AC=2,取PC的中点F,连接AF,EF, PA=AC=2,PCAF. PA平面ABCD,CD平面ABCD, PACD,ACD=90,CDAC, 又PAAC=A,CD平
9、面PAC, 又PC平面PAC,CDPC, EF是PCD的中位线,EFCD,EFPC. 又AFEF=F,PC平面AEF. AE平面AEF,PCAE. (2)取 AD的中点M,连接EM,CM,则EMPA.,解析 (1)证明:由已知得ACBD,AD=CD. 又由AE=CF得 = ,故ACEF. 由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.,(2)由EFAC得 = = . 由AB=5,AC=6得DO=BO= =4.所以OH=1,DH=DH=3. 于是OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,故ODOH. 由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是AC OD.又由ODOH,A
10、COH=O,所以OD平面ABC. 又由 = 得EF= .五边形ABCFE的面积S= 68- 3= . 所以五棱锥D-ABCFE的体积V= 2 = .,方法归纳 平面图形翻折问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变,一般情 况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是 解决问题的突破口. (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形, 也要分析折叠前的图形.,跟踪集训 (2017合肥第二次教学质量检测)如图,平面五边形ABCDE中,ABCE,且 AE=2,AEC=60,CD=ED= ,cosEDC= .将CDE沿CE折起,
11、使点D 到点P的位置,且AP= ,得到四棱锥P-ABCE. (1)求证:AP平面ABCE; (2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:ABl.,证明 (1)在CDE中,CD=ED= ,cosEDC= ,由余弦定理得CE=2. 连接AC,AE=2,AEC=60,AC=2.又AP= ,在PAE中,PA2+AE2 =PE2,即APAE.同理,APAC.而AC平面ABCE,AE平面ABCE,AC AE=A,故AP平面ABCE. (2)ABCE,且CE平面PCE,AB平面PCE,AB平面PCE. 又AB平面PAB,平面PAB平面PCE=l,ABl.,1.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱
12、锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面 ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD. 求证:(1)EF平面ABC; (2)ADAC.,随堂检测,证明 (1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD, 所以EFAB. 又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC. (2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD, BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD,所以BCAD. 又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC, 所以AD平面ABC. 又因为AC平面ABC,所以ADAC.,2.(2017郑州第一
13、次质量预测)如图,已知四棱锥S-ABCD,底面梯形ABCD 中,ADBC,平面SAB平面ABCD,SAB是等边三角形,已知AC=2AB= 4,BC=2AD=2CD=2 ,M是SD上任意一点, =m ,且m0. (1)求证:平面SAB平面MAC; (2)试确定m的值,使三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC体积的3倍.,解析 (1)在ABC中,由于AB=2,AC=4,BC=2 , AB2+AC2=BC2,故ABAC. 又平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCD=AB, AC平面ABCD,AC平面SAB, 又AC平面MAC, 故平面SAB平面MAC. (2)V三棱锥S-MAC=V三棱锥M-SAC= V三棱锥D-SAC= V三棱锥S-ACD, = = = 2=3,m=2.,
