《2018版高中数学 第三章 导数及其应用章末课 苏教版选修1-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018版高中数学 第三章 导数及其应用章末课 苏教版选修1-1(41页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章导数及其应用,章末复习课,1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题. 2.掌握初等函数的求导公式,并能够综合运用求导法则求函 数的导数. 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的 极值和最值. 4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 在xx0处的导数,常数A,2.几何意义:函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0,f(x0)处的切线 . 3.物理意义:瞬时速度、瞬时加速度.,斜率,知识点二 基本初等函数的求导公式,0,x1,cos x,sin x,axln a,ex,知识点三
2、导数的运算法则,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),1.函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;如果 ,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值与导数 (1)极大值:在xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫做函数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值; (2)极小值:在xa附近,满足f(a)f(x),当xa时, ,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.,知识点四 函数的单调性、极值与导数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,1.求函数yf(x)在(
3、a,b)内的 . 2.将函数yf(x)的各极值与 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 特别提醒 (1)关注导数的概念、几何意义 利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知,若切点未知,则设出切点,用切点坐标表示切线斜率. (2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系 当函数在区间(a,b)上为增函数时,f(x)0; f(x0)0是函数yf(x)在x0处取极值的必要条件.,知识点五 求函数 yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤,极值,端点处函数值 f(a),f(b),题型探究,类型一 导数几何意义的应用,解答,f(x)x22ax9(xa)2a29, f(x)mina2
4、9, 由题意知,a2910,a1或1(舍去). 故a1.,解答,由(1)得a1. f(x)x22x9, 则kf(3)6,f(3)10. f(x)在x3处的切线方程为y106(x3), 即6xy280.,(2)求f(x)在x3处的切线方程.,利用导数求切线方程时关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由 f(x1)和y1f(x1)求出x1,y1的值,转化为第一种类型.,反思与感悟,跟踪训练1 求垂直于直线2x6y1
5、0并且与曲线yx33x25相切的直线方程.,设切点坐标为P(x0,y0),函数yx33x25的导数为y3x26x,则切线的斜率为ky| 3x26x| 3x 6x0.,解得x01,y03,即P(1,3). 又k3,切线方程为y33(x1), 即3xy60.,解答,类型二 函数的单调性与导数,例2 已知函数f(x)x3ax2x1,xR. (1)讨论函数f(x)的单调性;,解答,因为f(x)x3ax2x1, 所以f(x)3x22ax1. 当0,即a23时,f(x)0,f(x)在R上单调递增.,解答,(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.
6、 (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.,反思与感悟,解答,f(x)x2axb,,解答,由(1)得f(x)x2axx(xa)(a0), 当x(,0)时,f(x)0; 当x(0,a)时,f(x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(,0),(a,), 单调递减区间为(0,a).,(2)若a0,求函数f(x)的单调区间;,g(x)x2ax2,依题意,存在x(2,1), 使不等式g(x)x2ax20成立,,(3)设函数g(x)f(x)2x,且g(x)在区间(2,1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.,解答,类型三 函数的极值、最值与导数
7、,f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴, 由f(1)0,得ae.,解答,解答,(2)求f(x)的极值;,当a0时,f(x)0,yf(x)为(,)上的增函数, 所以yf(x)无极值; 当a0时,令f(x)0,得xln a. 当x(,ln a)时,f(x)0,yf(x)在(ln a,)上递增, 故f(x)在xln a处取得极小值f(ln a)ln a,无极大值. 综上,当a0时,yf(x)无极值; 当a0时,yf(x)在xln a处取得极小值ln a,无极大值.,(3)当a1时,直线l:ykx1与曲线yf(x)没有公共点,求实数k的取值范围.,解答,令g(x)xex,则有g(x)(1x)e
8、x, 令g(x)0,得x1. 当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:,解得k(1e,1). 综上,k的取值范围为(1e,1.,(1)已知极值点求参数的值后,要代回验证参数值是否满足极值的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性,即f(x)的正负. (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者,求最小值要在极小值与端点值中取最小者.,反思与感悟,解答,f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1), 令f(x)0,解得x11,x2a, 因为a0,所以x1x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况见下表:,所以当x1时,f(x)有极大值2,即3a2b3.,解答,当0a3时,由
9、(1)知,f(x)在0,a)上为减函数, 在(a,3上为增函数,所以f(a)为最小值,,于是有a33a23a260,,类型四 导数与函数、不等式的综合应用,解答,f(x)x24ax3a2 (xa)(x3a). 令f(x)0,得xa或x3a. 当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:,所以f(x)在(,a)和(3a,)上是减函数;在(a,3a)上是增函数. 当xa时,f(x)取得极小值,,当x3a时,f(x)取得极大值,f(x)极大值f(3a)b.,(2)若当xa1,a2时,恒有|f(x)|a,试确定a的取值范围;,f(x)x24ax3a2,其对称轴为x2a. 因为0a1,所以2aa1.
10、 所以f(x)在区间a1,a2上是减函数. 当xa1时,f(x)取得最大值,f(a1)2a1; 当xa2时,f(x)取得最小值,f(a2)4a4.,解答,(3)当a 时,关于x的方程f(x)0在区间1,3上恒有两个相异的实根,求实数b的取值范围.,解答,要使f(x)0在1,3上恒有两个相异实根, 即f(x)在1,2),(2,3上各有一个实根,,不等式恒成立问题,关键是确定函数在给定区间的最值,这时往往需要分类讨论,函数的零点与方程根的问题,注意数形结合思想的应用.,反思与感悟,解答,当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,).,解答,所以g(x)在(1,)上是增函数.,当堂训练,1,2,3,4
11、,5,s12t,则s(3)1235, 所以物体在3秒末的瞬时速度为5 米/秒.,1.一个物体的运动方程为s1tt2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.,答案,解析,5,1,2,3,4,5,f(x)3x22bxc,,2.若函数f(x)x3bx2cx的图象与x轴相切于点(1,0),则函数f(x)的单 调递减区间为 .,f(x)3x24x1,由f(x)0即3x24x10,,答案,解析,3.已知函数f(x)x3ax2bx27在x1处有极大值,在x3处有极小值,则a ,b .,1,2,3,4,5,答案,解析,f(x)3x22axb, 由题意可知,3x22axb0的两根
12、为1和3, 由根与系数的关系,得,3,9,4.若函数yx3ax24在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围为 .,3,),y3x22axx(3x2a), 由题意知,x(0,2),y0, 即x(3x2a)0,,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.设f(x)a(x5)26ln x,其中aR,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值;,解答,因为f(x)a(x5)26ln x,,1,2,3,4,5,令x1,得f(1)16a, f(1)68a, 所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1),,1,2,3,
13、4,5,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,解答,1,2,3,4,5,令f(x)0,解得x2或3. 当03时,f(x)0, 故f(x)在(0,2),(3,)上为增函数; 当2x3时,f(x)0,故f(x)在(2,3)上为减函数.,1,2,3,4,5,在x3处取得极小值f(3)26ln 3.,综上,f(x)的单调增区间为(0,2),(3,),单调减区间为(2,3),,1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0,y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点. 2.借助导数研究函数的单调性,经常同三次函数,一元二次不等式结合,融分类讨论、数形结合于一体. 3.利用导数求解优化问题,注意自变量中的定义域,找出函数关系式,转化为求最值问题.,规律与方法,