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1、 第八章 多重共线性1考虑下面的一组数据：Y -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 102X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1131 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21如果我们用模型： 123iiiYX来对以上数据进行拟合回归。(1) 我们能得到这 3 个估计量吗？两个解释变量是否线性相关？并说明理由。(2) 如果不能，那么我们能否估计得到这些参数的线性组合？可以的话，写出必要的计算过程。解：（1）不能。通过对 2X和 3的观察，我们可以知道它们存在以下的关系：321ii，所以可知变量 2和 3X是完全线性相关的。（2）把方程写成12323(1)()ii
2、iiiiYX其中 1323,。因此，我们可以唯一的估计出 1和 2，但无法估计出原始的 ，因为两个方程无法解出三个未知数。2考虑以下模型： 231234iiiiiYX由于 X和3是 的函数，它们之间存在多重共线性吗？为什么？答：这种说法不正确。因为 2x和 3都是 x的非线性函数，把它们包括在回归模型中并不违反经典性线性回归模型的基本假设。多重共线性的相关是指的变量之间的线性相关。3设想在模型123iiiiYX中， 2X和 3之间的相关系数 r为零。如果我们做如下的回归：121iii132iiiYX（1）会不会存在 2且 3？为什么？（2） 1会等于 1或 或两者的某个线性组合吗？（3）会不会
3、有 22var()r()且 33var()r()？解：（1）是的。这是因为 X和 3之间的相关系数为 0，所以 系数的表达式2233232()()()iiiiiiiyxyx2323323()()()iiiiiiiyxyx中的交叉乘积项消失，从而变成与 和 系数同样的表示式。（2）是它们的一个线性组合。证明如下：1232233YX因此有 11Y。（3）不是。原因如下：222 33var() ,(0)(1)i irxrx， 22var()ix。4考虑消费函数123itttCYW 1,tn其中，C 、Y、W 依次表示消费、收入与财富。下面是假想数据。C Y W70 80 81065 100 1009
4、90 120 127395 140 1425110 160 1633115 180 1876120 200 2252140 220 2201155 240 2435150 260 2686(1) 作 C 对 Y 和 W 的普通最小二乘回归。(2) 这一回归方程是否存在着多重共线性？你的判断依据是什么？(3) 分别作 C 对 Y 和 W 的回归，这些回归结果表明了什么？(4) 作 W 对 Y 的回归。这一回归结果表明了什么？(5) 如果存在严重的共线性，你是否会删除一个解释变量？为什么？解：（1）使用 EViews 软件进行回归Dependent Variable: SER01Method: L
5、east SquaresDate: 07/02/06 Time: 19:32Sample: 1 10Included observations: 10Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 24.33698 6.280051 3.875284 0.0061W -0.034952 0.030120 -1.160433 0.2839Y 0.871640 0.314379 2.772576 0.0276R-squared 0.968182 Mean dependent var111.0000Adjusted R-squared 0.95
6、9092 S.D. dependent var 31.42893S.E. of regression 6.356758 Akaike info criterion 6.780239Sum squared resid 282.8586 Schwarz criterion 6.871015Log likelihood -30.90120 F-statistic 106.5019Durbin-Watson stat 2.941201 Prob(F-statistic) 0.000006回归得到的方程为： 24.30.87iYWY。（2）有。R-squared 的值为 0.968182，但是系数 W
7、通过不过显著性检验。（3）Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 24.45455 6.413817 3.812791 0.0051Y 0.509091 0.035743 14.24317 0.0000R-squared 0.962062 Mean dependent var111.0000Adjusted R-squared 0.957319 S.D. dependent var 31.42893S.E. of regression 6.493003 Akaike info criterion 6.756184Sum squar
8、ed resid 337.2727 Schwarz criterion 6.816701Log likelihood -31.78092 F-statistic 202.8679Durbin-Watson stat 2.680127 Prob(F-statistic) 0.000001Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 26.45198 8.446165 3.131833 0.0140W 0.048039 0.004543 10.57519 0.0000R-squared 0.933241 Mean dependent var
9、111.0000Adjusted R-squared 0.924896 S.D. dependent var 31.42893S.E. of regression 8.613107 Akaike info criterion 7.321304Sum squared resid 593.4849 Schwarz criterion 7.381821Log likelihood -34.60652 F-statistic 111.8346Durbin-Watson stat 2.389869 Prob(F-statistic) 0.000006在这两个回归中，系数是显著的，而在同时对两个变量进行回
10、归时，却存在部分系数的不显著，说明变量之间存在多重共线性。（4）Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -3.363636 73.70690 -0.045635 0.9647Y 10.37273 0.410753 25.25299 0.0000R-squared 0.987611 Mean dependent var1760.000Adjusted R-squared 0.986062 S.D. dependent var 632.0272S.E. of regression 74.61690 Akaike info criter
11、ion 11.63947Sum squared resid 44541.45 Schwarz criterion 11.69998Log likelihood -56.19734 F-statistic 637.7133Durbin-Watson stat 2.366673 Prob(F-statistic) 0.000000Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. Y 10.35497 0.123991 83.51400 0.0000R-squared 0.987607 Mean dependent var1760.000Adjust
12、ed R-squared 0.987607 S.D. dependent var 632.0272S.E. of regression 70.35864 Akaike info criterion 11.43973Sum squared resid 44553.05 Schwarz criterion 11.46999Log likelihood -56.19864 Durbin-Watson stat 2.366224不管是否带上常数项，R-squared 的值都非常大（0.98） ，而且 Y 的系数都通过显著性检验，说明 W 和 Y 存在高度的共线性。（5）在满足模型的经济含义的前提下（以
13、免造成模型设置失误） ，我们还是可以通过舍去 W 或者 Y 来消除共线性的5、下表给出了美国 1971-1986 年期间新客车出售的数据。年份 Y 2X34X56X1971 10227 112.0 121.3 776.8 4.89 793671972 10872 111.0 125.3 839.6 4.55 821531973 11350 111.1 133.1 949.8 7.38 850641974 8775 117.5 147.7 1038.4 8.61 867941975 8539 127.6 161.2 1142.8 6.16 858461976 9994 135.7 170.5 1
14、252.6 5.22 887521977 11046 142.9 181.5 1379.3 5.50 920171978 11164 153.8 195.3 1551.2 7.78 960481979 10559 166.0 217.7 1729.3 10.25 988241980 8979 179.3 247.0 1918.0 11.28 993031981 8535 190.2 272.3 2127.6 13.73 1003971982 7980 197.6 286.6 2261.4 11.20 995261983 9179 202.6 297.4 2428.1 8.69 10083419
15、84 10394 208.5 307.6 2670.6 9.65 1050051985 11039 215.2 318.5 2841.1 7.75 1071501986 11450 224.4 323.4 3022.1 6.31 109597Y新车出售量，未经季节调整数量；2X新车，消费者价格指数，1967 年=100 ，未经季节调整；3消费者价格指数，1967 年=100 ，未经季节调整；4个人可支配收入，10 亿美元，未经季节调整；5利率，百分数，金融公司票据直接使用；6X民间就业劳动人数（个人） ，未经季节调整。（1） 如果你决定使用表中全部回归元作为解释变量，可能会遇到多重共线性吗？为什么？（2） 如果你这样认为的话，你准备怎样解决这个问题？明确你的假设并说明全部计算。（3） 制定适当的线性或者对数线性的模型，以估计美国对汽车的需求函数。解：（1）首先我们发现各个变量在数量级上存在较大差别，所以我们一般考虑对数线性回归模型，得到如下的结果：Dependent Variable: LOG(Y)Method: Least SquaresDate: 07/02/06 Time: 20:31Sampl
