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1、 幂法求矩阵最大特征值0幂法求矩阵最大特征值摘要在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。幂法是一种计算实矩阵 A 的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适， 但有时收敛速度很慢。 用 java 来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列
2、的验证和迭代得到结果。 关键词：幂法；矩阵最大特征值；java ；迭代 幂法求矩阵最大特征值1POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENVALUE MATRIXABSTRACTIn physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eig
3、envalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem.Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its b
4、iggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed.Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third p
5、art is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration
6、 幂法求矩阵最大特征值2目 录 1 幂法.11.1 幂法基本思想.11.2 规范化.22 概要设计.32.1 设计背景. .32.2 运行流程 .32.3 运行环境.33 程序详细设计 .43.1 第一部分：矩阵转化为线性方程组. .43.2 第二部分：特征向量的极大值.43.3 第三部分：求幂法函数块.54 运行过程及结果 .64.1 运行过程. .64.2 运行结果.64.3 结果分析.65 心得体会 .7参考文献.8附录：源程序.9 幂法求矩阵最大特征值第 0 页 共 11 页1 幂法设 An有 n 个线性相关的特征向量 v1， v2， vn，对应的特征值 1， 2， n，满足|1| |
7、2| |n|1.1 基本思想因为 v1， v2， vn为 Cn的一组基，所以任给 x(0) 0， 线性表niivax1)(示所以有)()(2111)0( niikiknikiiikiikk vavaAAx若 a1 0，则因 知，当 k 充分大时 A(k)x(0) 1ka1v1 = cv1 属 1的特1i征向量,另一方面，记 max(x) = xi，其中| xi| = |x|，则当 k 充分大时， 111)0(1 )ma()ma(a vvAkkk若 a1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在 v1方向上的分量不为 0，迭代下去可求得 1及对应特征向量的近似值。1.2 规范化在实际计算中
8、，若| 1| 1 则| 1ka1| ，若| 1| | r +1| |n|则定理结论仍成立。此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于 1的不同特征向量。 幂法求矩阵最大特征值第 2 页 共 11 页2 概要设计2.1 设计背景用 java 程序来实现幂法求矩阵最大特征值。2.2 运行流程本程序分为了几大部分，通过方法间的相互调用，达到求解目的：首先 matrixx 方法的作用是将矩阵 A 与向量 X 相乘，结果存储在 Y 中，即将方程组呈现出来，slove 方法求出各未知数的最大值，程序的主体方法 mifa 通过 do while 循环中调用 matrixx 方法实现幂法函数。2.3 运行环境W
9、indows 7 2009 JDK 6.0 幂法求矩阵最大特征值第 3 页 共 11 页3 程序详细设计首先在桌面里新建文件夹，并运行程序 J+ 6.0；令一维矩阵 u = 3,4,5; 双精度浮点型初值为 a = 1.0， b = 2.0；整型变量方程组的阶数 n=3；双精度浮点型方程组系数矩阵为 A = 7,3,-2,3,4,1,-2,-1,3;3.1 第一部分：矩阵转化为线性方程组将二维矩阵 A，一维矩阵 x，y 以及阶数 n 作为它的形参，通过 for 循环将 Ax 相乘得到的结果存储在 Y 中。其执行程序如下：public void matrixx(double A,double x
10、,double y,int n)for(int i=0;ixi+1?xi:xi+1;return max; 幂法求矩阵最大特征值第 4 页 共 11 页3.3 第三部分：求幂法函数块这个方法有五个形参，二维矩阵 A，一维矩阵 u，双精度浮点型初值 a，b 矩阵的阶数 n。该方法的主体部分在 do while 中，通过循环迭代 matrixx 方法和 solve 方法，解出矩阵的特征值并且比较出最大特征值。通过 for 循环列出关于该矩阵的线性方程组的所有特征向量。其执行程序如下:public void mifa(double A,double u,double a,double b,int n)double c = 0.0;double c1 = 0.0;int count = 0;double temp=0,0,0;dodouble u1 = u; matrixx(A,u1,u,n);c = slove(u,n);c1 = c;guifanhua(u,n);printfcount(count,u,n);count+;for(int i =0;ia|Math.abs(c1-c)b);System.out.println(最大特征值为:+c);System.out.prin
