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1、二讲 加法与乘法原理 知识导航 加法原理:做一件事情,完成它有n类办法,在第一类办法中有M1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有m1+m2+mn种不同的方法。运用加法原理计数,关键在于合理分类,不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点,不同的问题,分类的标准往往不同,需要积累一定的解题经验。乘法原理:完成一件工作共需N个步骤:完成第一个步骤有m1种方法,完成第二个步骤有m
2、2种方法,完成第N个步骤有mn种方法,那么,完成这件工作共有m1m2mn种方法。 运用乘法原理计数,关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤,各个步骤之间是相互联系的,任何一步的一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此工作的方法也不同。精典例题例1:一个口袋内装有3个小球,另一个口袋内装有8个小球,所有这些小球颜色各不相同。问: 从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法? 从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 思路点拨 :从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取,要么从第二个口袋中
3、取,共有两大类方法。所以是加法原理的问题。:要从两个口袋中各取一个小球, 则可看成先从第一个口袋中取一个,再从第二个口袋中取一个,分两步完成,是乘法原理的问题。 模仿练习 孙老师的一个口袋内装有60个小球,另一个口袋内装有80个小球,所有这些小球颜色各不相同。问: (1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?例2:一把钥匙只能开一把锁,淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了,最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙?思路点拨要求“最多”多少次配好锁和钥匙,就要从最糟糕的情况开始考虑:第1把钥匙要配到锁,最多要试6次(如果6次配对失败,第
4、7把锁就一定是这把钥匙,不用再试);同理,第2把钥匙最多要试5次;第6把锁最多试1次,最好一把锁不用试。 模仿练习一把钥匙只能开一把锁,淘气有20把钥匙和20把锁全部都搞乱了,最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙? 例3:用数字1、8、3、2、0能组成多少个数字不重复的四位数?思路点拨运用乘法原理,把组数过程分为四个步骤:第一步:确定三位数千位上数字,有4种选法(最高位不能为0);第二步:确定百位上数字,有4种选法;第三步:确定十位上数字,有3种选法;第四步:确定个位上数字,有2种选法。模仿练习 用数字9、2,1、0、3、7能组成多少个数字不重复的四位数? 例4:如图4有A、B、C、D、
5、E五个区域,分别用五种颜色中的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色,共有多少种不同的染色方法?思路点拨由于有5个区域,则分为依次给A,B,C,D,E染色五步。先给A染色,因为有5种颜色,故有5种不同的染色方法;再给B染色,因不能与A同色,还剩下4种颜色可选择,故有4种染色方法;再给C染色,因为不能与A、B同色,故有3种不同的染色方法;再给D染色,同样不能与A、B、C同色,故有2种不同的染色方法;最后给E染色,由于E只与A、D相邻则只须与A、D不同色即可,那么它有(52)种染色方法。 模仿练习 小星同学用5种颜色给右图的5个区域染色,每个区域染1种颜色,相邻的区域染不同的颜色。问:共有多少种不
6、同的染色方法?学以致用A级1.机器猫有120本不同的童话书、450本不同的科技书、80本不同的故事书,熊大想从中借一本书回家看,问他有多少种不同的选法? 2.学校羽毛球队有12名男队员,10名女队员。 (l)要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手,有多少种不同的搭配方法? (2)该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名,学校选一名运动员去领奖,有多少种选法?3. 如图5,从甲地到乙地有两条路,从乙地到丙地有三条路;从甲地到丁地有四条路,从丁地到丙地有四条路,问从甲地到丙地共有多少种走法? 4.欧洲足球锦标赛共有16支球队参加,如果进行行单循环赛。问:共需要进行多少场比赛? 5.由数字0、l、2、3、4、5、6、7共可组成多少个没有重复数字的四位奇数?(奇数:不是2 的倍数,即单数) 6.有男生5人,女生2人,排成一行照相,女生不站两头,而且2个女生要站在一起,那么有多少种不同的站法?