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1、 8-4 静电场的环路定理 电势一、静电场力的功 静电场的环路定理一、静电场力的功 静电场的环路定理1、 点电荷电场中在路径上任一点附近取元位移lnulldddWFl=nullnulldcos0qEl= rEq0d=dWW=lEnullnulld=0q试验电荷 q0从 a点经任意路径到达 b点。002d11()44barrabqq qqrrrr =静电场做功和路径无关。rbabqrr+dr drraEnulllnulld0q2、 任意带电体系的电场中将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性nEEEEnullnullnullnullnull+=21电场力对试验电荷 q0做功为0dbaWq E
2、l=nullnulllEqlEqlEqbanbabanullnullnullnullnullnullnullddd000+=12 nWW W=+null总功也与路径无关。结论：试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对 q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。静电场是保守场，静电场力是保守力。3、 静电场的环路定理试验电荷 q0在静电场中沿任意闭合路径 L运动一周时，电场力对 q0做的功 W=？0d0LWq El=nullnullnull0d =lELnullnull0d =lELnullnull在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零
3、。 这就是静电场的环路定理。该定理也可表述为：在静电场中，电场强度的环流等于零。二、电势和电势叠加原理二、电势和电势叠加原理1、电势差和电势ddbbaaE lElnullnullnullnull= 1L2L存在与位置有关的态函数定义 a、 b两点的电势分别为 Ua、 Ub，d= babaUU Elnullnull则两点间的电势差为aL1L20qbdd= 00bbaaqElqElnullnullnullnull1L2Ldd= = =000bbaababaqElWUU Elqqnullnullnullnulla、 b两点的电势差等于将单位正电荷从 a移动到 b电场力作的功。a、 b间的电势差()d
4、=00bab a baWqElqUUnullnull点电荷在静电场移动，电场力做的功等于点电荷电量乘以起点与终点的电势差。d= babaUU Elnullnull两点间的电势差为选 b为电势的零点， Ub=0电场中任意点 a 的电势d=0UaaUElnullnull单位：伏特或焦耳 /库仑 , 记为 V或 J/C, 1V 1J/Ca点的电势等于将单位正电荷从 a点移动到电势零点电场力作的功。注意1o 电势是标量，有正、负。2o 电势是相对量，相对于 U =0 处而言。原则上可选电场中任意一点的电势为零。3 电势零点的选取电荷分布在有限空间，取无穷远为 U = 0 点。电荷分布在无限空间，取有限
5、远点为 U = 0 点。理论上一般工程上，选大地或设备外壳为 U=0点点电荷的电势点电荷的电场2014rqEer=nullnulldrUEl=nullnullrq041=rrqrd4120=可见，点电荷周围空间任一点的电势与该点距离点电荷的距离 r成反比 .2、 电势叠加原理Ur+点电荷系的电势电势叠加原理 ：点电荷系的电场中，某点的电势等于每个电荷单独在该点激发的电势的代数和。连续分布带电体的电势q3q1r1r2014iiiqUr=01dd4qUUr=q2q4r3r4P将连续带电体分成许多电荷元，再根据电势叠加原理进行积分计算。静电力的功，等于静电势能的减少。由环路定理知，静电场是保守场。保
6、守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。三、电势能三、电势能()00bPaPb abaE EqEdlqUU= = nullnull( )ab Pb PaWEE= ()00bab a baWqEdlqUU=nullnull选 b为电势的零点，用 “0”表示，则000 0bPa aaaE qEdlq EdlqU= =nullnullnullnull试验电荷 q0在电场中某点的电势能，在数值上等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。()00bPaPb abaE EqEdlqUU= = nullnull四、电势计算举例四、电势计算举例例题：一半径为 R 的圆环，均匀带有电荷量 q 。计算圆环轴线上
7、任一点 P 处的电势。+ +dl解：设环上电荷线密度为 ，环上任取一长度为 dl的电荷元，其所带电荷ddd2qlq lR=该电荷元在 p 点电势为：0dd4qUr=Rrlq 2d410=oprxxR22028dxRRlq+=整个圆环在 p 点的电势为dpUU=+=RxRRlq20 22028d2204qRx=+ +dloprxxR例题：求一均匀带电球面的电势分布。球面半径为 R，总带电量为 q。解： （ 1）取无穷远处为电势零点（ 2）由高斯定理知，电场分布为10E rR=nullnull1.当 r R 时2dbrUEl=nullnullrq041=U =RrRq41Rb.r=rrrqd412
8、0电势分布曲线场强分布曲线结论： 均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。VRrORq041rERrO204 Rq2r例 题： 求一均匀带电球体的电势分布。Rra由高斯定理知，电场分布为1304rqrE erRR= nullnullEdaaUEl=nullnull12ddRrRE lEl=+nullnullnullnull320044Rqr qrrRr =+1.当 r R 时dbbUEl=nullnullrqdrrqr020414=()()2230022308438qqRrRRqRrR=+=Rrb1、 等势面与电场线的关系 8-5 电场强度与电
9、势梯度的关系一、 等势面一、 等势面在静电场中，电势相等的点所组成的面称为 等势面 。设 ： q0在等势面上 P点沿等势面做微小位移 dl 到达 Q点，与成 角，电场力做功为EnulldlnullEdlq0SPQ0ddWqEl=nullnull0cosqEdl =Edlq0SPQ电场力做功等于电势能的减少量ddWqU=等势面上 dU=0，所以 dW=00dcos0WqEdl =结论：电场线与等势面垂直。即0000 lEq d0cos = dE lnullnull2、 等势面图示法等势面画法规定：相邻两等势面之间的电势间隔相等。UU+UU+2UU+3U场强越强，等势面分布越密，场强越弱，等势面分
10、布越稀。点电荷的等势面3、典型等势面电偶极子的等势面+电平行板电容器电场的等势面+静电场中有两个靠的很近的等势面，电荷 q从等势面 1移动到等势面 2，电场力做功ddWqEl=nullnull电场力做功等于电势能的减少量ddWqU=nUEdd=1U2P1P2U+dUnEcosqEdl=nqEd=二、 电势梯度与电场强度的关系二、 电势梯度与电场强度的关系dl电场中任一点的电场强度 E等于该点电势沿等势面法线方向单位长度的变化率的负值。写成矢量形式UnUgraddd= nEnullnull在直角坐标系中)( kjiEnullnullnullnullzUyUxU+=场强与等势面垂直，但指向电势降低
11、的方向，沿着场强的方向，电势降低。场强与电势梯度的关系的应用电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再应用场强与电势梯度的关系算出场强。例题：计算均匀带电圆环轴线上的电场。XopxRr解： P点电势rqUd=0412/1220)(4 xRq+=221/201d4( )qRx=+P点电场xUEEx=2/3220)(4 xRqx+=与用叠加原理得到的结果一致。E 8-6 静电场中的导体一、导体的静电平衡条件一、导体的静电平衡条件1、静电感应：在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。2、静电平衡：导体中电荷的宏观定向运动终止，电荷分布不随时间改变。导体达
12、到静电平衡E外E感+0=+感外EEnullnull平衡时，导体内部的场强处处为零静电平衡时，导体表面电场可以不为零，但一定和导体表面垂直/EE若不垂直，则会有平行导体表面的分量 ，在 的作用下，电荷将继续移动。/E/E静电平衡条件：导体内部场强处处为零电场电势导体为一等势体表面场强垂直于导体表面导体表面是一个等势面dbaUEl=nullnull二、处于静电平衡状态导体上的电荷分布二、处于静电平衡状态导体上的电荷分布（ 1）实心导体，静电平衡时电荷只分布在导体外表面上。证明：紧贴导体表面内作高斯面 S， 根据高斯定理+ 导体内部没有净电荷0=EnullS静电平衡时，导体内部各处0E =null0
13、iSq =内则有那么 d=0SESnullnullnulld=01iSSE Sqnullnullnull内电荷只分布在导体外表面上。（ 2） 体内有空腔，腔内无其它带电体时，电荷全分布在导体外表面上（证明略）+（ 3） 体内有空腔，腔内有其它带电体时，导体内、外表面上均有电荷分布。+qS-Q +q0=若导体带有电荷 Q，空腔内带电体的电荷为 q， 静电平衡时，导体内表面上分布有电荷 ，根据电荷守恒，导体外表面上分布的电荷为 :内qq=qQq=+外（ 4）导体的表面场强EnulldeS ES=nullnullnulldddE ES ES=+Snullnullnullnullnullnull上底
14、下底 侧面d00ES=+nullnull上底E S=外表面 底作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，其中一底在导体内部。由高斯定理0d/eSS ES q=nullnullnull内0/S =底0E =外表面（ 5）孤立导体表面上各处的面电荷密度 与各处表面曲率半径 R 成反比1R 放电！放电！Enull+实验证明 :120E=如右图中 1、 2两处的面密度分别为 1、 2平坦处：尖端处：1221RR=则 E 小；则 E 很强 ; 很大，R 很小，凹面处： 曲率为负值，更小，则有R大 小，则 E 很弱 .（ 6）尖端放电现象在导体的尖端附近，由于场强很大，当达到一定量值时，能够使附近的空
15、气电离，其中和导体上电荷异号的离子，被吸收到尖端上，与导体上的电荷相中和，而和导体上电荷同性的离子，则被排斥而离开尖端，作加速运动，这种产生的放电现象称为尖端放电现象。由于尖端放电产生的 “电风 ”+ +尖端放电现象的利与弊尖端放电会损耗电能 , 还会干扰精密测量和对通讯产生危害。在高压设备中，为了防止因尖端放电而引起的危险和漏电造成的损失，具有高电压的零部件的表面必须做得十分光滑，并尽可能做成球面。然而尖端放电也有很广泛的应用。然而尖端放电也有很广泛的应用，避雷针就是尖端放电现象的在生活中利用。例题：两平行放置的带电大金属板 A和 B，面积均为 S， A板带电 QA， B板带电 QB，求两块板四个面的电荷面密度。解：设两板四个面的电荷面
