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1、对电磁感应现象中两个复杂的导体杆问题的深入研究黄尚鹏（湖北省监利县朱河中学，湖北 监利 433325）原载物理教学探讨2013 年第 12期摘要：本文对含电容器的放电式单导体杆问题和水平有恒定外力不等间距导轨双导体杆问题分别用初等方法和高等数学方法作了深入的研究，以供大家参考。关键词：单导体杆；最大速度；焦耳热；特征方程1 含电容器的放电式单导体杆问题如图 1 所示，光滑水平平行金属导轨间距为 L，导轨左端接有电容为 C 的电容器，整个装置处在垂直导轨平面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场中，一质量为 m，电阻为 R 的金属杆 ab 垂直导轨放置且与导轨接触良好。开始时电容器两极板所带电荷量为
2、 Q，金属杆由静止释放。试分析金属杆以后的运动情况并求金属杆能够获得的最大速度及整个过程回路中产生的焦耳热。(1) 初等解法开始电容器两端电压等于 Q/C，电容器相当于电源，电容器通过导轨及金属杆构成的回路放电，磁场对通有电流的金属杆施加向右的安培力， 使金属杆从静止开始向右做加速运动。金属杆在磁场中运动切割磁感线所产生的感应电动势是一反电动势，它阻碍电容器通过金属杆放电。设某时刻 t 电容器两极板电荷量为 q，则其两端电压为 q/C，此时回路中的电流为 i，金属杆获得的速度为 v，由牛顿第二定律及欧姆定律 F 安 =BiL=ma，q/C BLv = iR，电容器在放电 q，金属杆在加速 v，
3、故回路中的电流 i，金属杆的加速度 a，当 a = 0 时，金属杆达到最大速度 vm，设此时电容器两极板电荷量为 qm，则稳定状态时qm/C BLv m = 0任意选取极短的一段时间 t，对金属杆由动量定理得BiLt = mv，Bilt = mv，BL it = mv 即 BL(Q - qm) = mvm联立解得 vm = 、q m = QCLBQ2CLB2电容器最开始放电时所具有的电能为 ，金属杆达到稳定状态时电容器所具有的电能图 1 单导体杆例图为 ，设整个过程回路中产生的焦耳热为 Q 热 ，由能量守恒定律得Cqm2= mvm2 + Q 热 联立解得 Q 热 = Q21 CLBm)(22(
4、2) 高等数学解法由牛顿第二定律及欧姆定律BiL = m BLv = iR dtvCq由于电容器在放电 q，故 i = dt对式两边对时间求导，得 = RtvBL1di由 和 知，该式可化为 = imtqCtq2即 = )(12dtmLBdtqCRt2整理得 + 2t02tqC 式是二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为2+ = 0 解得 1 = 0， 2 = mRLB2 mRCLB2故 式的通解为q = C1 +C2，则 = C1tRLBe2dtq2teRCLB2初始条件：t = 0，q = Q，v = 0， = i = tQ故 C1+C2 = Q， C 1 = mRLB2C解得 C1 =
5、 、C 2 = 2 Q2故 q = (m + B2L2C)LB2tRe2i = = dtqRCQtmLBe2将 代入 式，得v = (1 )LB2tmRCLBe2当 t 时，q ，v Q2CLB2这表明，金属杆能够获得的最大速度其实是极限速度，理论上最大速度永远无法达到。整个过程回路中产生的焦耳热Q 热 = =02Rdti0)(22RdteCmCLB= tmLB0(22= )(22CR= LBmQ)(2这与初等解法得到的结果完全相同。2 水平有恒定外力不等间距导轨双导体杆问题如图 2 所示，光滑水平平行金属导轨右部间距为 L1，左部间距为 L2，一质量为 m1，电阻为 R1 的金属杆 1 靠在
6、右部导轨上，另一质量为 m2，电阻为 R2 的金属杆 2 靠在左部导轨上，两金属杆均垂直导轨放置且与导轨接触良好，整个装置处在垂直导轨平面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场中。 开始杆 2 无初速度，杆 1 从静止开始受到一水平向右的恒定拉力 F 作用，试分析两杆以后的运动情况。(1) 初等解法杆 2 受到水平向右的恒定拉力 F 作用后从静止开始向右运动， 其在磁场中运动切割磁感线将产生感应电动势，两杆及导轨构成的回路中感应电流的方向沿逆时针方向，磁场图 2 双导体杆例图对通有电流的杆 1 施加向左的安培力，磁场对通有电流的杆 2 施加向右的安培力，使杆 2 从静止开始向右做加速运动。杆 2
7、在磁场中运动切割磁感线所产生的感应电动势是一反电动势，它阻碍电流流过金属杆。设某时刻 t 回路中的电流为 i，两杆获得的速度分别为 v1 和 v2，加速度分别为 a1 和 a2，由牛顿第二定律及欧姆定律F BiL1= m1a1 BiL2= m1a2 i = = 21RvBL21)(RvBL由 得电流的变化率 = =ti21(tvt21)(RaBL开始 v1 v2 = 0，i = 0，a 1=F/m1，a 2 = 0，L 1a1 L2a2，i/t 0，故回路中的电流 i，杆 1 的加速度 a1，杆 2 的加速度 a2，显然只要 L1a1 L2a2，该动态变化过程将继续进行，直到 L1a1=L2a
8、2 当 L1a1=L2a2 时，i/t = 0，回路中的电流将不变，两杆的加速度将不变，故两杆最终以不同的加速度做匀加速运动。 联立 、 得稳定状态时两杆的加速度和回路中的电流分别为 a1= 、a 2 = ，i = 12mF211LmF)(211LmBF(2) 高等数学解法由牛顿第二定律及欧姆定律F BiL1 = m1 BiL2 = m2 i = dtvdtv21)(RaL联立得 F L1 = m1 2tt联立得 = m2 解得 v1 = v2 + 21)(RvBdtLdtvLBm221)( 式两边对时间求导，得 = + t12Lt212)(dtBR将 式代入 得 + =F 221)(dtvB
9、tvLm221 式是二阶常系数线性非齐次微分方程，其有如下形式的特解：v 2 = kt，将特解代入式解 = F，解得 k = ，故特解 v2 = tkLm21211L211L 式对应的齐次微分方程为 + = 0 整理得221)(dtBRmdtmL221+ = 0，其特征方程2dtvdtvRmLB212)(2+ = 0 解得 1 = 0， 2 = t212)( )(212RmLB故 式的通解为 v2 = t + C1 + C221LmFtRLe)(212则 = C1dtv221Lm)(212BtRmLB)(212初始条件：t = 0，v 1 = v2 = 0，i = 0， = 0dtv故 C1
10、+ C2 = 0， C1 = 021LF)(212RmLB解得 C1 = 、C 2 = 2112)(mBR2121)(F故 v2 = 1 tLF2112 2121)(LmBRtRmLBe)(21则 a2 = = 1 dt211mtRLe)(212将和代入v2 = t + 1 211LF2121)(LBtRmLBe)(212将和代入，得 i = 1 2121)(mFtRLB)(212当 t 时，a 1 ，a 2 ， i12L211 2121)(mF这表明， 稳定状态时两杆的加速度和回路中的电流其实都是极限值，理论上都永远无法达到。参考文献：1 张大同.高中物理 竞 赛辅 导 （第 2 版 ）M 西安：陕西师范大学出版社，20002 梁灿彬，秦光戎，梁竹健普通物理学教程电磁学（第 1 版）M北京:高等教育出版社，19803 中国科学技术大学高等数学教研室.高等数学导论（第 3 版）M合肥：中国科学技术大学出版社，2007.4周 军，张兴华，周侃关于一个电磁作用力实例的讨论J物理教学探讨，2009，(6)：38
