《非线性物理混沌mod》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性物理混沌mod（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、非线性物理混沌引言非线性是在自然界广泛存在的自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得多。随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个分支，混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍等1。要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌现象的自治电路至少满足以下三个条件2：1）有一个非线性元件，2）有一个用于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。如图1所示的蔡氏电路（Chuas circuit）3,4是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍棠（Leon O. Chua）教授于1983年提出并实现。近年
2、来，非线性电路的研究领域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路5的理论设计与硬件实现等问题备受人们关注。如Chen氏电路6、Colpitts振荡电路7、基于SETMOS的细胞神经网络结构的蔡氏电路8，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。实验原理在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器9-11被广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻R（电路方程中以电导G=1/R做参数，以下方程求解过程都用G来表示，而涉及实验的内容采用R表示）、电容C1和C2、电感L以及非线性负阻Nr。它的运行
3、状态可以用以下方程组来描述： (1)其中U1为C1（或负阻Nr）两端的电压，U2为C2（或L）两端的电压，IL为通过L的电流，Error! No bookmark name given.g(U)为非线性负阻的I-V特性函数，其表达式为：(2)式中各参数和变量的具体意义间图3。从g(U)的表达式看出，g(U)分三段，且每段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称，可以一并求解。图1：蔡氏电路示意图U1、U2、IL构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为。混沌实验仪中一般演示X点的相轨迹在U1-U2平面的二维投影，可用双踪示波器的X-Y模式来观察，即常说的
4、李萨如图形。在每个区间内，方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程：(3)其中X(t)、b为三维矢量，A为三阶矩阵。方程(3)在时的解即为相空间的不动点XQ，。原方程组的解即可写为线性齐次方程的通解与不动点特解XQ的和。方程(3)的本征值方程为|I-A|=0，若A存在三个本征值1、2、3，齐次方程的解即为：(4)其中i为i对应的本征向量，ci由初始状态X0决定。在有些情况下，A有一个实本征值和一对共轭的复本征值i，方程的解可以写成：(5)式中是实本征值对应的本征向量，rii是共轭的复本征值对应的本征向量。fc、cr、cc由初始状态决定。综上所述，蔡氏电路方程组的解为：(6)我们把实本征向量方向
5、标记为Er，把r和i张成的平面记为Ec。齐次方程解的独立分量xr(t)在Er方向，xc(t)在平面Ec内。方程的解随着时间演化具有如下性质：如果0，xr(t)沿着Er方向指数增长。由此可见，对于任何一条相轨迹X(t)，Er方向上的分量恒正或恒负，所以它始终都无法穿越Ec平面（图Error! Bookmark not defined.、Error! Bookmark not defined.）。如果0且0，则xc(t)在Ec平面内螺旋离开不动点XQ；若0，xc(t)在Ec平面内螺旋收缩到不动点XQ。这些性质在进行每个区域分析时都非常有用。非线性负阻的结构9如图2所示，由两个封装在一起的运算放大器
6、（双运算放大器集成电路FL353N）和6个定值电阻（R1=3.3k、R2=R3=22k、R4=2.2k、R5=R6=220，精度1%）构成，输入电源电压15V。理想的非线性负阻具有如图3所示的I-V特性，被E拆分为上中下三个区域，在各个区域都是线性函数，分段函数的斜率依次为Gb、Ga、Gb，且满足GaGb0。由运算放大器电路的参数可计算12出Ga=-1/R1-1/R4=(-7.60.1)10-4-1，Gb=1/R3-1/R4=(-4.09 0.06)10-4-1。图2：非线性负阻的内部结构图3：理想非线性负阻I-V特性（示意图）实验内容1、 各种混沌现象的观测用图1所示的方法，调节可调电阻R，
7、观察单周期、双周期、阵发混沌、三周期、单吸引子、双吸引子等相图，并记录各种相图对应的U1,U2的信号特点。2、 测量非线性负阻的I-特性1、用如图4所示的方法，用示波器驱动，分别在30Hz，300Hz和3.3kHz等频率测量非线性负阻的I-V特性，讨论不同频率时I-V曲线的特点。 图4：外部信号扫描测量I-V特性电路图2、 用图5所示的方法：在电路中接入一个r=100的采样电阻，非线性负阻两端的电压U1仍在CH1端测量，用CH2端输出的r两端的电压代替电流信号来记录I-V曲线，实验时利用蔡氏电路自身的振荡信号代替信号发生器的输入。CH1和CH2的信号输入另一双踪示波器观察非线性电路的二位相图，
8、记录电路出现各种混沌状态时的I-V曲线。3、 比较上述两种方法得到的I-V曲线的异同，并讨论原因。4、 分析第二种方法得到的结果，并解释相图和I-V曲线之间的关联。图5：内置信号扫描测量I-V特性电路图5、（选做）用伏安法测量非线性负阻的I-V曲线，分析得到的结果。三、（选做）元件参数测量和非线性方程的求解1、用万用表测量电路中的电容、电感的值。（有兴趣的同学可查阅万用表测电容、电感的原理。）2、用函数信号发生器作电源，用伏安法测量电容、电感的值，讨论电流、频率不同时，测量结果的变化。注意：实际有铁芯电感的等效模型为一个理想电感和一个损耗电阻的组合。3、用高精度的LCR表测量各个元件的参数。4
9、、用实际测得的实验参数求解非线性方程组（1），找出不同条件下的不动点，分析不动点的稳定性和解的特点。四、（选做）C调制设计实验方法，实现用电容C的调节了得到各种混沌相图，并讨论G调制和C调制得到的相图的不同。5、 （选做）数值模拟1、 采用四阶Runge-Kutta法求解方程组（1），画出各种相图。2、 用FFT法分析各种相图时时域型号的频率特性。3、 绘制U1随R变化的分岔图，得出单周期、双周期等混沌状态时的R值，和实验观察的结果进行比较。6、 （探索）混沌保密通讯阅读文献，了解混沌通讯的原理和实现方法，从实验上实现两台混沌实验仪的信号同步，并完成混沌保密通讯的原理演示实验。7、 （探索）分
10、形用计算机编程得到各种分形图形。思考题1、 非线性系统的动力学行为的特点有哪些？2、 一个自治的非线性系统至少包含哪些元件？各起什么作用？3、 将非线性负阻直接接到一个电阻两端，随着外接电阻阻值的改变，电阻上的电压和电流之间会有什么关系？有兴趣的同学可以进行实验测量，并解释得到的结果。4、 怎样求解非线性方程组？什么是Runge-Kutta法？5、 G调制和C调制有什么不同？参考文献1 James Gleick, 张淑誉, 郝柏林. 混沌开创新科学M. 北京: 高等教育出版社, 2004年.2 L. O. Chua. Nonlinear CircuitsJ. IEEE Transactions
11、 on Circuits and Systems. CAS-31(1),1984: 69-87.3 P. R. Hobson, A. N. Lansbury. A simple electronic circuit to demonstrate bifurcation and chaosJ. Physics Education, 31, 1993: 39-43.4 G. Q. Zhong and F. Ayrom. Experimental confirmation of chaos from chuas circuitJ. International Journal of Circuit T
12、heory and Applications, 13(1), 1985: 93-98.5 J. H. Lu, G. R. Chen. Generating Multiscroll Chaotic Attractors: Theories, Methods And ApplicationsJ. International Journal of Bifurcation and Chaos, 16(4), 2006: 775-858.6 G. R. Chen, T Ueta. Yet Another Chaotic AttractorsJ. International Journal of Bifu
13、rcation and Chaos, 9(7), 1999: 1465-1466.7 M. P. Kennedy. On the Relationship between the Chaotic Colpitts Oscillator and Chuas OscillatorJ. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 42(6), 1995: 376-379.8 冯朝文, 蔡理, 康强. 基于单电子器件的混沌电路研究J. ACTA PHYSICA SINICA物理学报, 57(10), 2008: 6155-6161.9 1王珂, 田真, 陆申龙
14、. 非线性电路混沌现象实验装置的研究J. 实验室研究与探索, 4, 1999: 43-45. 10 2许巍，熊永红，李定国等. 基于LabVIEW数据采集系统的混沌电路实验J. 物理实验, 29(2),2009: 20-2211 3刘兴云, 鲁池梅, 程永山. 基于虚拟仪器三维多涡卷混沌电路的研究J. 大学物理, 27(6), 2008: 38-4112 M. P. Kennedy. Three steps to chaos part : A chuas circuit primerJ. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 40(10), 19
15、93: 657-674.实验资料1、 复旦天欣科教仪器有限公司：NCE-2型非线性电路混沌实验仪产品说明书。2000.22、 上海新建仪器设备有限公司：XJ4400系列数字存储示波器课外阅读：非线性科学概要为非线性物理概论一书写的序言汪 秉 宏上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。当深入到微观尺度（10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（10 10cm/s），则相对论是正确的。非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实
