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1、二项式定理1.二项式定理：.2.二项式定理的说明：（1）的二项展开式是严格按照a的降次幂（指数从逐项减到）、b的升次幂（数从逐项减到）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a、b的指数之和等于。所以与的二项展开式是不同的。（3）二项式项数共有项，是关于与的齐次多项式。（4）二项式系数：展开式中各项的系数为，.（5）二项式通项：展开式中的第项记作，共有项。（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。如：的第2项的二次项系数为，而第2项的系数为.（7）常见二项式：令；令.3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即.（2
2、）二项式系数和：令，则二项式系数的和为：，变形有：.（3）；（4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：已知，则奇数项的系数和：=_；偶数项的系数和：=_；（5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数是偶数时，则中间项为第项的二项式系数取得最大值；如果二项式的指数是奇数时，则中间项有两项，分别为第项和第项，对应的二项式系数，同时取得最大值。，.（6）系数的最大、最小项的求法：求展开式中最大、最小项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有：且；如果设第项系数最小，应有，从而解出的范围。4.怎么求展开式中含的系数，其中且？解：把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项
3、为，故在中含的项为：，其系数为.5.近似计算的处理方法：当的绝对值很小（趋近于0）且不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计。类似地，有.但使用这两个公式时应注意的条件，以及对计算精确度的要求。若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：.二项式定理常考题型题型一：二项式定理的逆用题型二：求二项展开式的特定项（1）求单个二项式指定幂的系数（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数（3）利用通项公式求常数项（4）求有理项（5）求中间项题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小项（1）一般的系数最大或最小问题（2）特殊的系数最大或最小问题（3）系数绝对值最大的项（4）二项式系
4、数最大的项题型四：赋值法求值题型五：整除性题型六：证明不等式题型七：利用二项式定理求近似值例1.已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于_例2.二项式（x+32）n（nN*）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9例3.若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项。例4.已知等式x4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，则b1，b2，b3，b4的值分别为_例5.若n是正整数，则除以9的余数是_例6.证明：（1） （2）当且1，求证：例7.（2002全国）据2002年3月5日九届人大五次会议政府工作
5、报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十五”期间（2001年2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ）A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元变式训练：1.设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，若，则等于_2.在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）2007的展开式中，x3的系数等于_3.把1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则等于_4.（2016浦东新区一模）二项式的展开式前三项系数成等差数列，则
6、_5.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是_6.若5.在n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是_7.在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中，含x4的项的系数是_8.n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于_9.已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为_10.(2011上海十三校二模)在二项式()n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则n_11.（2015闸北区二模）若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这
7、个展开式中任取一项为有理项的概率是_12.（2010辽宁）的展开式中的常数项为_13.（2000北京）求的展开式中有理项共有_项。14.（2015全国）的展开式中，的系数为_ 15.（2x-1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为_16.(1axby)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（ ）A.a2，b1，n5 B.a2，b1，n6C.a1，b2，n6 D.a1，b2，n517.已知，则的值是_18.多项式x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a8的值为_ 19.若多项式，则的值为（ ）A.509B.510C.511D.102220.设，则_21.已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：（1）a1a2a7；（2）a1a3a5a7；（3）a0a2a4a6；（4）|a0|a1|a2|a7|.21._22.(2012湖北)设aZ，且0a13，若512012a能被13整除，则a_23.数除以88的余数是_24.求的近似值（精确到小数后第三位）。8
