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1、高二年级 立体几何综合训练第I卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是( )A直线a,b与直线l所成角相等,则a/bB直线a,b与平面成相等角,则a/bC平面,与平面所成角均为直二面角,则/D直线a,b在平面外,且a,ab,则b/2空间四边形ABCD,M,N分别是AB、CD的中点,且AC=4,BD=6,则( )A1MN5 B2MN10 C1MN5 D2MN5ABC3如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,为其上的三个点,则在正方体盒子中,等于( )A45 B60 C 90 D 1204对已
2、知直线a,有直线b同时满足下面三个条件:与a异面;与a成定角;与a距离为定值d,则这样的直线b有( )A1条 B2条 C4条 D无数条5对于任一个长方体,都一定存在一点:这点到长方体的各顶点距离相等;这点到长方体的各条棱距离相等;这点到长方体的各面距离相等,以上三个结论中正确的是( )A B C D 6已知AO为平面的一条斜线,O为斜足,OB为OA在内的射影,直线OC在平面内,且AOB=BOC=45,则AOC等于( )A30 B45 C60 D不确定7正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为,则它的侧面积为( )A24 B12 C D8甲烷分子结构是:中心一个碳原子,外围四个氢原子构成四面
3、体,中心碳原子与四个氢原子等距离,且连成四线段,两两所成角为,则cos值为( )A B C D9如图正方体中,E,F分别为AB,的中点,则异面直线与EF所成角的余弦值为( )A B C D10异面直线a,b成80角,P为a,b外的一个定点,若过P有且仅有2条直线与a,b所成的角相等且等于,则角属于集合( )A|040 B|4050C|4090 D|5090第II卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)11有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个_12正四棱锥S-ABCD侧棱长与底面边长相等,E为SC中点,BE与SA所成角的余弦
4、值为_。13边长为2的正方形ABCD在平面内的射影是EFCD,如果AB与平面的距离为,则AC与平面所成角的大小是_ 14已知A,B,C,D为同一球面上的四点,且连接每两点的线段长都等于2,则球心到平面BCD的距离等于_。15斜三棱柱中,侧面的面积为S,到面的距离是a,则该三棱柱的体积是_。三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)已知ABCD是正方形,PA平面ABCD,且PA=AB=,E、F是侧棱PD、PC的中点。 (1)求证:EF平面PAB ; (2)求直线PC与底面ABCD所成角的正切值; 17(本小题满分12分)CABMP
5、三棱锥中,平面平面,是边长为的正三角形,是的中点(1)求证:;(2)求点到平面的距离; 18(本小题满分12分)已知四边形ACED和四边形CBFE都是矩形,且二面角A-CE-B是直二面角,AM垂直CD交CE于M。(1)求证:AMBD(2)若AD=,BC=1,AC=,求二面角M-AB-C的大小。19(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是以ADC为锐角的菱形。(1)试问:当ADC为多大时,有PACD;(2)当PACD时,求面PAB与面PCD所成角的大小。 20(本小题满分12分)三棱柱中,AB=AC=a,BAC=90,顶点在底面ABC上
6、的射影为BC边的中点M。(1)求证:BC垂直于,A,M三点确定的平面;(2)如果三棱锥的体积为,求棱锥侧面与底面ABC所成锐二面角的大小。 21(本小题满分14分)已知:如图,四边形ABCD,EADM和MDCF是个三边长为a的全等的正方形,点P、Q分别是ED和AC的中点。求:(1)PQ与AD所成的角的大小;(2)平面EBF与平面ABCD所成锐二面角的正切值;(3)多面体EFM-ABCD的体积。 参考答案一、选择题1D A,B,C均可找出反例排除2A 取AD中点P,中,PM=3,PN=2,由三角形三边大小关系即得A。3B 4D 先考虑一特例,在a垂直半径为d的圆面的边界上任一切线均可,有无数条。
7、b不垂直,也可类似得到。5B 只有(1)正确,此点为对角线的交点。6C 由7A 易计算,底面半径为2,进而计侧棱长为2 8D 一个正四面体的各顶点与中心连线所成的角。9B 取中点,连,则为所求,在中计算。10B 将两异面直线平移到O点,相交成80,100两对角。过P作直线与两直线成40角有一条。4050之间有2条。50有3条。5090有4条。二、填空题11、四棱台 12 13 14 15提示:12取AC中点O,EO/SA,为所求角,在中求解14依题意知,这四点为一个正四面体的顶点,球为该四面体的外接球;所求距离为内接球半径,两球同心,距离为四面体高的。15将其分为三棱锥。四棱锥且。三、解答题1
8、6证明:(1)证明:(2)连结AC,因为PA平面ABCD,所以就为直线PC与平面ABCD所成的角。即又因为正方形ABCD的边长为,所以AC=,所以17. (1)三垂线定理(2)得即为M到平面PAC的距离18(1)四边形ABCD是矩形,BCEC。又二面角A-EC-B是直二面角,BC平面AE。DC是直线DB在平面AE上的射影。又AMCD,AM平面AE,AMBD。(2)设CD交直线AM于点N,因为在RtABC中,AC= AD= CD=3。又ANCD AN= cosCAN= 在平面ABC内过C作CPAB,垂足为P,连结MP。因为ECBC,ECAC,所以EC平面ABC,所以CP是MP在平面ABC上的射影
9、。所以ABMP,MPC就是二面角M-AB-C的平面角。因为RtABC中,所以 所以,所以二面角M-AB-C的大小为。19(1)如图,过P作PHCD于H,平面PCD平面ABCDPH平面ABCD。AH是PA在平面ABCD上的射影,又PC=PDH为CD中点,当时,为正三角形,AHCD,又PH平面ABCDPACD(2)过P作直线。PHl。为所求二面角的平面角又为等腰直角三角形, 20(1)连结AM。M是在平面ABC上的射影,平面ABC,BC在平面ABC上,。由AB=AC,M是BC中点,有。BC平面。(2)过M在平面ABC内作于N,连结,则。是侧面与底面ABC所成的锐二面角的平面角。由于三棱锥的高等于的
10、长,又三棱锥的体积为,三角形的面积为,。为等腰直角三角形,M为斜边中点,在中,即侧面与底面ABC所成的锐二面角为60。21(1)过P作PHAE于H,过Q作QNAB于N,连结HN。则。四边形PHNQ是平行四边形。PQ/HN。又,且。则AD平面EAB。而HN平面EAB。而HN平面EAB,ADHN,即ADPQ。PQ与AD所成的角为90。(2)过B作RS/AC交DA的延长线于点R,交DC的延长线于点S。取EF的中点O,连结OB、OQ、QB。正方形ABCD,QBAC。又RS/AC,QBRS。OQ平面ABCD,由三垂线定理可得OBRS。为平面EBF与平面ABCD所成二面角的平面角在中,。平面EBF与平面ABCD所成锐二面角的正切值为。(3)将图形补成一个正方体7爱心 用心 专心