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1、数学广角鸽巢问题本单元教材向学生渗透一些重要的数学思想方法,通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,在探索过程中进一步积累基本生活经验。 “鸽巢问题”是与“存在性”有关的问题,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”或“鸽巢原理”。通过本单元学习,使学生会用“鸽巢原理”解决问题,培养学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,但“鸽巢原理”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,教
2、学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴,能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。因此,“鸽巢原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。教材的设计在于借助各种直观演示,动手动脑操作,讲练结合,让学生在实践活动中学会数学方法,还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实例与数学原理结合起来
3、,有助于提高学生解决实际问题的能力。1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了解“抽屉原理”的含义,会用“抽屉原理”解决实际问题。2.学会与人合作,并能与人交流。“抽屉原理”的探究过程就是一种数学证明的雏形,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想,这个过程是将具体问题“数学化”的过程,能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。结合具体的实际问题以及观察、猜测、实验、推理、分析、归纳等数学活动,让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。在主动参与
4、数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,以及数学与生活的紧密结合。【重点】认识“鸽巢原理”,能够运用“鸽巢原理”解决实际问题。【难点】理解“鸽巢原理”,找出“鸽巢问题”解决的窍门,并进行反复推理。1.应让学生初步经历“数学证明”的过程在小学阶段,虽然并不需要学生对涉及的“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明,但仍可引导学生用直观的方式进行“就事论事”式的解释。教学时可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过这样的方式,有助于逐步提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。2. 应有意识地培养学生的“模型”思想“抽屉问题”的变式很多,应用更具灵活性
5、。但能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系是能否解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴,如果可以,再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。3.要适当把握教学要求“抽屉原理”的应用广泛且灵活多变,因此,用“抽屉原理”来解决实际问题时,有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易。因此,教学时,不必过于追求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了,更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。 1鸽巢问题本节课学习“抽屉原理”,使学生
6、在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。教学中注意利用教材中的情境教学,组织学生自主探索,手脑并用,了解数学知识的严谨性及可操作性,培养学生在实践中探求知识的能力。了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。【重点】引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。【难点】找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。【教师准备】PPT课件。1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况?学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分?怎样分?请你表示出来。
7、预设 生1:42=2(本)生2:把4本书平均分给两人,每人分得两本书。【参考答案】甲分4本,乙分0本;甲分3本,乙分1本;甲分2本,乙分2本;甲分1本,乙分3本;甲分0本,乙分4本。方法一师: (出示一副扑克牌)今天老师要给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大王和小王,还剩下52张牌,下面请5位同学上来,每人随意抽一张,不管怎么抽,至少有2张牌是同花色的。同学们相信吗?预设 生1:不相信。生2:我们可以亲自动手试一试。(5位同学上台,抽牌,亮牌,统计)师:这类问题在数学上称为鸽巢问题(板书)。因为52张扑克牌数量较大,所以为了方便研究,我们先来研究几个数量较小的同类问题。设计意图以 “魔术”导
8、入,设置悬念,激发学生学习的兴趣和求知欲望,从而提出需要研究的数学问题。方法二PPT课件出示教材第68页数学游戏。师:同学们,你们玩过扑克牌吗?预设 生:玩过。师:下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,就是52张,对吗?预设 生:对。师:如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:这5张扑克牌中至少有2张是同一种花色的,你们信吗?预设 生1:相信。生2:不相信。师:其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊?预设 生:想。揭示课题:这节课我们就来解决这个数学问题。(板书课题)设计意图由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发现知识
9、,提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。一、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。1.操作并发现规律。(PPT课件出示下图)把4支铅笔放进3个笔筒里,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么?师:把4支铅笔放到3个笔筒里,有哪些方法?请同桌二人为一组动手试一试。谁来说一说结果?预设 生1:一个放4支,另两个不放。生2:两个放2支,另一个不放。生3:一个放3支,一个放1支,一个不放。生4:一个放2支,两个放一支。(教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果)师:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗?预设 生:对。2.理解关键词的含
10、义。师:这句话里“总有”是什么意思?预设 生:一定有。师:这句话里“至少有2支”是什么意思?预设 生1:最少有2支,不少于2支。生2:可能比2支多,也可能与2支相等。3.探究证明。师:把4支铅笔放到3个笔筒试一试。(1)枚举法。师:谁来说一说结果?预设 生:通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。预设 生1:(4,0,0)。生2:(3,1,0)。生3:(2,2,0)。生4:(2,1,1)。师:谁还想到其他方法了?预设 生:没有了。师:一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。(2)数的分解法。预设 生:把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。师:从分解的四种
11、情况中,你发现了什么?预设 生:四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。(3)假设法。师:前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢?小组讨论一下。预设 生1:如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。生2:首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。师:通过以上几种方法,都可以发现:把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 4.认识鸽巢问题(一)。师:把5支铅笔放到4个铅笔盒
12、里呢?把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢?把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢你发现了什么?预设 生:只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。师:上面各个问题,我们都采用了什么方法?预设 生:尽可能平均分物体的方法。师:像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。(1)在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。 (2)这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。
13、 小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。 归纳总结:抽屉(鸽巢)原理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉(鸽巢)里(mn,且m和n是非零自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)里至少放进了2个物体。师:现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗?预设 生1:如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。生2:总有一种花色至少有2人选。设计意图一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过程,增强学习的积极性和主动性。回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,让学生认识到
14、数学的应用价值. 二、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。1. 探究方法。(PPT课件出示例2)师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么? (先小组讨论,再汇报)(1)数的分解法。预设 生1:把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。生2:每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。(2)假设法。生3:把7本书平均分成3份,73=21,(板书)若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。师:通过以上两种方法都可以发现:7本
15、书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。2.拓展迁移。师:如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢?10本呢?11本呢?16本呢?预设 生1:83=22不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。(板书)生2:103=31不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)生3:113=32不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)生4:163=51不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。(板书) 师:观察上述算式和结论,你发现了什么?预设 生1:物体数抽屉数=商余数。生2:至少数=商+1。(板书)3.建立“鸽巢问题”模型。归纳总结:抽屉(鸽巢)原理(二):把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(鸽巢)(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)中至少放进了(k+1)个物体。设计意图引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的积极性和主动性。1.教材第68页“做一做”第1题。2.你理解前面扑克牌魔术
