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1、 2.1 如图所示系统中，已知 12121234 ,m m k k a a a a水平刚杆的质量忽略不计。以 2 m 的线位移为运动坐标，求系统的等效刚度 e k ，等效质量 e m 以及固有频率。 解：设 2 m 的线位移为 x，由能量法 22 22 22 312232 12 2 444 1111 2222 aee ak ak aa UkxkxxUk x aaa + =+= , 又 故 22 1223 2 4 e k ak a k a + = 2 22 222 11 124 12 2 44 1111 2222 aee am am a Tmxm xxTm x aa + =+= ?, 又 故 2
2、2 1 124 2 4 e m am a m a + = 22 1223 22 1 124 11 22 e e kk ak a f mm am a + = + 2.2 图示振动系统的弹性元件的质量忽略不计。求系统的等效刚度（ 13 ,k k 为悬臂 弹簧的刚度） 。 解： 1 k 、 2 k 串联 12 1 12 eq k k k kk = + 1eq k、 3 k并联 213eqeq kkk=+ 2eq k、 4 k串联 24 24 eq eq eq kk k kk = + () ()() 2412233 14 24121234 eq eq eq kkk kk kk kk k kkk kkk
3、kk + = + 2.3 图示振动系统中，弹性元件以及滑轮的质量忽略不计。假定滑轮转动时无摩 擦作用，求系统的等效刚度。 解：设滑轮中心位移分别为 x1、x2，由滑轮系运动分析可知： () 12 2xxx=+ (1) 设绳中张力为 T0，则 01 122 2Tk xk x= (2) 由(1)和(2)可得： ()() 12 12 1212 22 kk xxxx kkkk = + 由能量法 () 222 12 a1 122 12 111 U 222 4 k k k xk xx kk =+= + 2 1 2 ee Uk x= 可得： () 12 12 4 e k k k kk = + 于是 () 1
4、2 12 1 4 k k f kkm = + 2.4求图示系统的等效刚度。 解： 力和力矩分析 121 122 121 122 FFFk xk xF FaF bk x ak x b +=+= = 可得： ()() 12 12 ; ba xF xF ab kab k = + 几何分析 1 21 xxa xxab = + 于是 ()()() () 2 12 2 121 12 a kabkbaba xFFFF ab kab kab kab abk k = + + 变换得： () () 2 22 12 12 222 12 12 abk ka kb k xFFx a kb k abk k + = + +
5、 等效刚度为： () 2 12 22 12 e abk k k a kb k + = + 2.5 设有一均质等截面简支梁如图。在中间有一集中质量m。如把梁本身质量M 考虑在内，试计算此系统的等效质量。假定梁在自由振动时的动挠度曲线和简支 梁中间有集中静载荷作用下的静挠度曲线一样。 解： 设y为中点动挠度，即简支梁中点自由振动的位移，梁在自由振动过程中离端 点距离为的截面在垂直方向的位移为 23 3 34l y l ，则速度为 23 3 34l y l ?。 2 23 222 2 3 0 13411 171 17 2 222 352 35 l a l Tydmylm yMm y l =+=+=+
6、 ? 2 1 y 2 ee Tm= ? 可得： 17 35 e mMm=+ 中央集中受力简支梁的刚度为： 3 48EJ k l = 则系统的固有频率为： 1 2 e k f m = 2.6若以平衡位置为坐标原点，且令该位置的势能为零，则如图所示各系统中质 量离开静平衡位置的角度为时的总势能为多少？并写出各自的振动方程。 2 1 sin; 1 cos 2 系统作微振动 解： （1）求总势能 a：() () 2 22 11 sin(1cos ) 22 Uk amglkamgl=+ b：() 2 22 11 sin 22 Uk aka= c：() () 2 22 11 sin(1cos ) 22 U
7、k amglkamgl= （2）振动微分方程 方法：() 0 d TU dt += 动能 () 21 2 Tm l= a: () 22 0mlkamgl+= ? b: 22 0mlka+= ? c: () 22 0mlkamgl+= ? 2.7 一只用于流体力学试验室的压力表，具有均匀内径，截面积为A。内装一长 度为L、密度为的水银柱，如图所示。求液面在其平衡位置附近振动的频率。 忽略水银与管壁间的摩擦。 解： 振动微分方程为：20LA xA gx+=? 系统固有圆频率为 0 2g L= 系统固有频率为 1 2 2 fg L = 2.8 确定图示系统的固有频率。圆盘质量为m。 kka r O
8、x 解： 2222 113 224 a TmxJmr=+= ? ? ()() 2 2 2 1 2 2 a Ukrak ra=+=+ ()0 aa d UT t += 可得： () 2 2 4 0 3 k ra mr + += ? 于是： () 2 2 4114 2323 k rarak f mrrm + = 2.9两个滑块在光滑的机体槽内滑动，机体在水平面内绕固定轴o以角速度转 动。每个滑块质量为m，各用弹簧常数为k的弹簧支承。试确定其固有频率。 解：在离心力作用下系统达到平衡时有： () 2 0 k xmlx =+ 以新平衡位置作为坐标原点，则有 2 0 ()()0mxk xxmlxx+ +
9、=? 整理得： 2 0mxkxmx+=? 2 1 2 k f m = 2.10 一有粘性阻尼的单自由度系统，在振动时测得周期为1.8s，相邻两振幅之 比为4.2:1。求此系统的固有频率 解： 2 2 2 ln4.21.44 110.05 =+ = 2 1.811.754 =0.57 dd TTTf= 2.11 图示一弹性杆支承的圆盘，弹性杆扭转刚度为kt，圆盘对杆轴的转动惯量 为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为 Td 。求圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系。 解： 0 t Jk+= ? 22 2 0 2 24 11 4 t dtd k TJJkT = 222
10、2 22 44 12 4 t ttdd JJ Jk JkkTT = = 22 2 4 2 t d J MJk T = ? 2.12 在图示振动系统中，假定阻尼为临界阻尼。已知k=175N/m，m=1.75kg，初 位移x=1cm，初速度x=-12cm/s。当t=0时放松质量块。求： （1） 第一次到达静平衡位置的时间？ （2）过静平衡位置后的最大幅值为多少？所需时间为多少？ 解: 临界阻尼状态下系统自由振动的解为： () 0 0000 t xexxxt =+ ? （1） 0 x010/ k rad s m =平衡位置 00 t0.5s x = +? 0 0 x 代入式中， =- x （2） x
11、0=?最大幅值时 00 t0.6s x = + ? ? 0 0 x 代入式中， =- x 0.000496cm= max x 2.13 图示振动系统中有一小阻尼，因此 dn 。质量块的质量为 9kg，其在自然 静止状态的弹簧伸长为 12mm。在系统的自由振动 20 周内观察到振幅由 10mm 衰减到 25mm。求：(1)系统的阻尼系数?(2)衰减系数；(3)阻尼比；(4)临界阻尼。 解： 9 9.8 7350/ 0.012 kN m = 0 28.58/ k rad s m = 110 ln0.069 202.5 = 阻尼比 2 2 110.011 =+ = 衰减系数 0 0.314n= 临界
12、阻尼2514.4 c ckm= 阻尼5.66 c cc= 2.14 图示弹簧质量振动系统，假设均质杆杆长为l，质量为 m，且杆端有集中质 量 m。试写出运动微分方程并求出临界阻尼系数和阻尼固有频率。 c o m k a b l x 解： 2 22 0 111 4 222 3 l a m Tmxxdm x ll =+= ? 可得： 4 3 e mm= 2 2 2 2 11 22 a bb Ukxk x ll = 可得： 2 2 e b kk l = 2 2 2 2 11 22 a aa Dcxk x ll = ? 可得： 2 2 e a cc l = 振动微分方程为： 22 22 4 0 3 a
13、 cb k mxxx ll +=? 4 2 3 cee bkm cm k l = 242 2 22 2 3 16 e c ca c cb l km = 0 3 2 bk lm = 阻尼固有频率为： 2 0 1 2 d f = 2.15 一个有阻尼弹簧-质量系统，受到简谐激励力的作用，求发生加速度共振时 的频率比。 解：设激振力为( ) 0sin f tFt= ()() 2 00 22 2222 1 sin()sin() (1)2(1)2 FF xtxt km =+ + ? ( ) () 2 2 22 (1)2 f = + 即为求当 为何值时取极大值 ( ) () 2 22 22 111 (1)
14、42 1 21 f = + 2 2 1 1 2 1 2 = = 时发生加速度共振 2.16 在图示的弹簧-质量系统中，在两弹簧连接处作用一激励力。试求质量块 m 的振幅。 （注：不考虑自由振动。 ） 1 x m sinFt k k k x 解： () 1 0mxkxk xx+=? 111 sinsin ()sin 222 FtkxFtx k xxkxFtx kk + +=+ 31 sin 22 mxkxFt+=? 0 3k = 2m 222 1 11 2 sinsinsin 3 21332 1 2 3 F FF xttt mkkm k k = 0 2 32 F X km = 2.17 计算初始条件（ 0 x和 0 x?） ，以使 0sin mxkxFt+=?的响应只以频率振动。 解： 000 0000 22 0 cossinsinsin 11 xXX xxtttt =+ ? 00 0000 2 0 cossinsin0 1 xX xttt += ? 0 0000 000 222 2 0 0 11 1 x XXF xxX km = = =
