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1、二次函数的顶点式,盛家坝中学 刘祖芹,向下 x=-1 (-1,-1),向下 x=0 (0,-3),向上 x= 3 (3,0),向上 x= 2 (2,2),向下 x= 0 (0,0),向下 x= 2 (2，-2),向上 x= -2 (-2,-1),向上 x= -1 (-1,1),指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：,y = ax2,y = ax2 + k,y = a(x h )2,y = a( x h )2 + k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,（上加下减，左加右减）,各种形式的二次函数（ a 0）的图象 （平移）关系,知识回顾,讨论题2:观察所画的函数图像并进行比较,你认为函数
2、的图像有哪些特点?,一、由顶点式说性质： 说出下列抛物线的开口方向、对称轴、增减性及最值： （1）y =2( x+3)2+5; （2）y = 3(x1)22; （3）y = 4(x3)2+7;,解： （1）a=20开口向上，对称轴为x=3， 当x-3时，y随x的增大而减小； 当x-3时，y随x的增大而增大； 当x=-3时，y有最小值为5;,(1)说出函数 的图象可以由y=ax2如何平移得到？,5.5,1.5,5.5,3,(2)说出函数 的图象如何平移可以得到y=ax2的图像？,二、顶点式与平移,(3)说出函数 的图象如何平移可以得到 的图像？,一般地，抛物线 与 形状_，位置不同，把抛物线y=
3、ax2向上（下）向左（右）_，可以得到抛物线 平移的方向、距离要根据_的值来决定,抛物线 有如下特点： （1）当a0时，开口_；当a0时，开口_； （2）对称轴是直线_ ； （3）顶点坐标是_,相同,平移,h，k,向上,向下,x=h,（h,k),怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?,函数y=ax+bx+c的图象,配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式，后两项合并同类项,化简:去掉中括号,老师提示: 配方后的表达式通常称为顶点式,探究,简单说成：一提、二配、三化简,函数y=3x2-6x+5的图象特征,2.根据配
4、方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.,a=30,开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).,探究,例.求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点式,配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式，后两项合并同类项,化简:去掉中括号,探究,三、把一般式化为顶点式,1.x2-6x+ =(x- )2 2.y2+3y+ =(y+ )2 3.函数y=x2+6x化为顶点式是 。 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是 。 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是 .,3,练一练,根据公式确定下列二次函
5、数图象的对称轴和顶点坐标：,解：,对称轴 顶点坐标,解：,对称轴 x=1 顶点坐标(1,1),四、利用顶点式求二次函数解析式,1.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（-，），则它的函数解析式为 .,2.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2的形状相同，顶点为（-，），则它的函数解析式为 .,3.已知抛物线y=ax2+bx+c由y=-2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到，则它的函数解析式为 .,4.已知抛物线y=ax2+bx+c由y=-2x2+1绕顶点旋转1800得到，则它的函数解析式为 .,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2+
6、1关于x轴对称，则它的函数解析式为 .,或,6.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？,解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是,y = a( x 1 )2 3 (0x3).,由这段抛物线经过点（3，0）可得,0a(31)23.,解得,因此,当x = 0时，y = 2.25，也就是说，水管应长2.25m.,1、y=3x2的图象向 平移 个单位，再向 平移 个单位，就得到函数y=3(x+2)2-5的图象。,
7、左,2,下,5,2、抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点在第 象限。,二,五、课内练习,3、将抛物线y=2(x-1)2+4绕着它的顶点旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为 （ ） A、y=2(x+1)2+4 B、y=2(x-1)2-4 C、y=-2(x-1)2+4 D、y=-2(x+1)2+4,C,提高,4.写出一个二次函数的解析式,要求满足下列条件: 开口向下;顶点坐标为(-2,-3). .,5.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2), 求该抛物线的解析式.,6.已知抛物线 (1)将函数化为 的形式. (2)说出该函数图象可由抛物线 如何平移得到? (3)说出该函数的对称
8、轴,顶点坐标,最值情况.,5、解：设抛物线的解析式为 ，将（1，-2）代入 中，得： 4a+2=-2 a=-1 则抛物线的解析式为,B,1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的 顶点都在 A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 4 B. -1 C. 3 D.4或-1 4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列 各式
9、中不成立的是( ) A.b2-4ac0 B.abc0 C.a+b+c=0 D.a-b+c0,1,C,A,x,y,o,-1,B,( ),（ ）,5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平 移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 A.b=2 B.b= - 6 , c= 6 C.b= - 8 D.b= - 8 , c= 18 6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限， 则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是 ( ),( ),B,-3,-3,-3,-3,C,7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致
10、图象可能是 （ ）,C,抛物线位置与系数a，b，c的关系：,a决定抛物线的开口方向： a0 开口向上,a0 开口向下, a，b决定抛物线对称轴的位置: (对称轴是直线x = ), a，b同号 对称轴在y轴左侧； b=0 对称轴是y轴； a，b异号 对称轴在y轴右侧,2a,b,【左同右异】,知识点一：, c决定抛物线与y轴交点的位置： c0 图象与y轴交点在x轴上 c=0 图象过原点； c0 图象与y轴交点在x轴下方。,顶点坐标是（ ， ）。,（5）二次函数有最大或最小值由a决定。,当x= 时,y有最大(最小)值 y=,b,2a,_,4a,4acb,2,（b2-4ac）的符号：,由抛物线与x轴的
11、交点个数确定,与x轴有两个交点,b2-4ac0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,（6）,1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0, b0, 0.,练习,2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0, b0, c=0, 0.,练习,3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0, 0.,练习,4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0, b=0, c0, =0.,练习,5、抛物线y=ax2+bx+c如
12、图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0, b=0, c=0, =0.,练习,6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、的符号：,x,y,o,a0, c0, 0.,练习,7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在 （ ）,A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限,x,o,y,a0, c0,D,练习,8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）,（A）,（B）,（C）,（D）,C,练习,9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：abc0；b=
13、2a； a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正确的个数是 （ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个,C,练习,知识点二：,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,（7）a+b+c的符号：,由x=1时抛物线上的点的位置确定,点在x轴上方,点在x轴下方,点在x轴上,a+b+c0,a+b+c0,a+b+c=0,（8）a-b+c的符号：,由x=-1时抛物线上的点的位置确定,点在x轴上方,点在x轴下方,点在x轴上,a-b+c0,a-b+c0,a-b+c=0,11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下不正确的是 （ ） A、abc0 B、b2-4ac0 C、2a+b0
14、 D、4a-2b+c0,D,练习,试一试：已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围.,(2)另一个交点坐标为(1，0),(3)当m-1且m3时,抛物线的顶点在第四象限,抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：,（1）a的符号：,由抛物线的开口方向确定,小结,4.若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ） A.b2-4ac0 B. 0,B,课 堂 练 习,5.若二次函数 y=ax2 + b x
