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1、动力学I第一章运动学部分习题参考解答13解：运动方程：，其中。将运动方程对时间求导并将代入得 16xyo证明：质点做曲线运动,所以,设质点的速度为,由图可知:，所以: 将，代入上式可得 xyo证毕17证明：因为，所以：证毕110解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度为,则有关系式：，并且 将上面两式对时间求导得：，由此解得： （a）(a)式可写成：，将该式对时间求导得： (b)将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）AOAOBR111解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的
2、投影相等，即： （a）因为 （b）将上式代入（a）式得到A点速度的大小为： （c）由于，（c）式可写成：，将该式两边平方可得：将上式两边对时间求导可得：将上式消去后，可求得：由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为 113解：动点：套筒A；动系：OA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有：，因为AB杆平动，所以，由此可得，OC杆的角速度为，所以当时，OC杆上C点速度的大小为x115解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：OA杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有， 由于动点
3、M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得： (a)将（a）式在向在x轴投影,可得：由此解得：117解：动点：圆盘上的C点；动系：OA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动（平行于O1A杆）； 牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有 （a）将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：，根据加速度合成定理有 （b）将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM弯杆平移，所以有取：动点：套筒M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理 可求得：，
4、根据加速度合成定理 将上式沿方向投影可得：由于，根据上式可得：，1-20 MOAB解：取小环为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中：根据速度合成定理：可以得到： ，MOAB加速度如图所示，其中：，根据加速度合成定理： 将上式在轴上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Oxy）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对
5、速度，根据速度合成定理 将上式沿绝对速度方向投影可得： Oxy因此 其中：，由此可得：求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：2-1x 解：当摩擦系数足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：将其在轴上投影可得：根据动量定理有： 即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：将上式在轴投影有：根据动量定理有：由此解得平台的加速度为：（方向向左）2-2 x取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：将上式在x
6、轴投影：根据动量定理有：系统的运动微分方程为：24 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。y（a） (b)根据变质量质点动力学方程有：将上式在y轴上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：x35 将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有：船的质量为：，水的阻力为将其代入上式可得：将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得由初始条件
7、确定积分常数，并代入上式可得：2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。oM 图a 图 b解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相
8、对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为其中：系统对z轴的动量矩为。初始时，此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可计算出方板的角速度为211 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：P根据动量矩定理有：整理上式可得：由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为：根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：系统的动量在x轴上的投影为：系统的动量在y轴上的投影为：根据动量定理：由上式解得：，214 取整体为研究
9、对象，系统的动能为：其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知：，因此系统的动能可表示为：，系统在能够过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：，系统的动力学方程可表示成：由上式解得：，217 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。ABAB 图A 图B解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系
10、统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为设为势能零点，则系统的势能为根据机械能守恒定理和初始条件有，即系统水平方向的动量为：根据系统水平动量守恒和初始条件有由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式,且最后求得：下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程ABAB （a） 图C 图 D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有 （b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得其中相对加速度为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得领，联立求解三个投影可求出218 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有： （a）将上式对时间求导并简化可得： (b )每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理将上式在y轴上投影可得： 将(a),(b)两式代入上式化简后得时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成上述方程的解为：，圆环脱离地面时的值为而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。z
