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1、 有理数全章复习与巩固(基础) 【学习目标】 1理解正负数的意义,掌握有理数的概念.2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类: (1)按定义分类: (2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与
2、负数的界点0非正非负,是一个中性数2数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大3相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0 要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可(3)多重符号的化简:数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负4绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝
3、对值是它的相反数;0的绝对值是0 数a的绝对值记作(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离要点二、有理数的运算 1 法则:(1)加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同0相加,仍得这个数(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数即a-b=a+(-b) (3)乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘任何数同0相乘,都得0(4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数即ab=a(b0) (5)乘方运算的符号法则:负数的奇次幂是负数,负数的
4、偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0 (6)有理数的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“”号的个数,例如:(3)=3,+(3)=3(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(3)(2)(6)=36,而(3)(2)6=36(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: , 2运算律: (1)交换律: 加法
5、交换律:a+b=b+a; 乘法交换律:ab=ba;(2)结合律: 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); 乘法结合律:(ab)c=a(bc) (3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法(4)作商比较法;(5)倒数比较法要点四、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法:把一个大于10的数表示成的形式(其中,是正整数),此种记法叫做科学记数法例如:200 000=2.近似数:接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或
6、近似值.如长江的长约为6300,这里的6300就是近似数.要点诠释:一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释:(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.(2)精确度有两种形式:精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样,一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小,例如精确到米,说明结果与实际数相差不超过米,而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念1若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4
7、)平方;(5)立方,等于它本身则这个数分别为(1)_;(2)_;(3)_;(4)_;(5)_ 【答案】(1)0; (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1 【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全. 【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.举一反三:【高清课堂:有理数专题复习 概念的理解与应用】【变式】(1)的倒数是 ;的相反数是 ;的绝对值是 . -(-8)的相反数是 ;的相反数的倒数是_.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是 . (3) 上海浦东磁悬浮铁路
8、全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 mmin.(4) 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则_ .(5) 近似数0.4062精确到 位,近似数 5.47105精确到 位,近似数3.5万精确到 位, 3.4030105精确到千位是 .【答案】(1); ; ;-8;2 (2)降价5.8元,70.2 元;(3);(4)3;(5)万分;千;千;3.401052如果(x-2)2+|y-3|0,那么(2x-y)2005的值为( ) A1 B-1 C22006 D32005【思路点拨】利用非负数的性质,求出的值再代入计算【答案】A【解析】 因为(x-2)2,
9、|y-3|都是非负数,且(x-2)2+|y-3|0, 所以由非负数的性质先求出x=2,y =3的值,代入得: (2x-y)2005=12005=1【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性3在下列两数之间填上适当的不等号: _【思路点拨】根据“a-b0,a-b0,a-b0分别得到ab,ab,ab”来比较两数的大小【答案】【解析】法一:作差法由于,所以法二:倒数比较法:因为所以【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用举一反三:【变式】比较大小:(1)_0.001; (2)_-0.68【答案】(1) (2)类型二、有理数的运算4(1)(12)5+(14)(39)(2)32(3)2+
10、3(2)+|4|(3)(4)(5)【答案与解析】解:(1)(12)5+(14)(39)=12514+39=31+39=8(2)32(3)2+3(2)+|4|=996+4=16+4=3(3)=606060=10258=23(4)=()()32=232=30=24(5) 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次进行计算,然后利用各种运算法则计算,有时可以利用运算律来简化运算举一反三:【变式】计算:(1)(2)【答案】解:(1)(2)=-16+4-31=-15类型三、数学思想在本章中的应用5(1)数形结合思想:有理数a在数轴
11、上对应的点如图所示,则a,-a,1的大小关系 A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a (2)分类讨论思想:已知|x|5,|y|3求x-y的值 (3)转化思想:计算:【答案与解析】解:(1)将-a在数轴上标出,如图所示,得到a1-a,所以大小关系为:a1-a 所以正确选项为:D(2)因为| x|5,所以x为-5或5 因为|y|3,所以y为3或-3当x5,y3时,x-y5-32 当x5,y-3时,x-y5-(-3)8 当x-5,y3时,x-y-5-3-8 当x-5,y-3时,x-y-5-(-3)-2 故(x-y)的值为2或8(3)原式=【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效
12、手段数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知” 举一反三:【变式】若a是有理数,|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解:当a0时,|a|-aa-a0; 当a0时,|a|-a0-00; 当a0时,|a|-a-a-a-2a0 所以,对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数类型四、规律探索 6将1,按一定规律排列如下: 请你写出第20行从左至右第10个数是_【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述,然后归纳总结,寻找规律【答案】【解析】 认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+20210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并将规律表示出来财务盈利能力分析采用的主要评价指标包括静态评价指标和动态评价指标两类。其中静态评价指标主要有投资回收期,投资利润率,投资利税率和资本金利润率;动态评价指标主要有投资回收期,净现值、净现值率,内部收益率。7