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1、第3章单相正弦交流电,3.1正弦量的基本概念 3.2正弦量的相量表示法 3.3基尔霍夫定律的相量形式 3.4正弦电流电路中的电阻元件 3.5正弦稳态电路中的电感元件 3.6正弦稳态电路中的电容元件 3.7复阻抗、复导纳及其等效变换,下一页,第3章单相正弦交流电,3.8正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高 3.9谐振电路,上一页,3.1正弦量的基本概念,3.1.1定义 随时间变化的电压和电流称为时变的电压和电流，如果时变的电压和电流每个值在经过相等的时间间隔后循环出现，那么，这种时变的电压和电流就称为周期电压和周期电流，统称为周期量。如果周期量正半周和负半周的波形面积相等，即一个循环内波形面积平
2、均值为零，称为交流量。交流量中应用最广泛的是正弦交流量。大小和方向随时间按正弦规律周期性变化的电压和电流，称为正弦电压、正弦电流，统称为正弦交流量，简称正弦量。正弦量的特征表现在变化的大小、快慢和初始值三个方面。,下一页,返回,3.1正弦量的基本概念,3.1.2表示正弦交流电特征的物理量 1.周期、频率和角频率 描述正弦量变化“快慢”的量是周期、频率和角频率。 （1）周期T。正弦量变化一周所需要的时间为一个周期，用T表示，单位为秒（s）。 （2）频率f。正弦量在1 s内变化的周期数称为频率，用f表示，单位为赫兹（Hz）。频率的常用单位还有kHz和MHz （3）角频率。正弦交流电变化一个周期相当
3、于正弦函数变化2弧度，所以正弦量变化的快慢也可用角频率表示，它指的是正弦量在1 s内经过的弧度数，故,上一页,下一页,返回,3.1正弦量的基本概念,2.瞬时值、最大值和有效值 描述正弦量“大小”的量有瞬时值、最大值和有效值。 （1）瞬时值。如图3-1所示为正弦交流电压的波形图和正方向。可用正弦函数表达式表示为 （2）最大值。交流电压瞬时值中的最大数值Um称为最大值，它表示在一周内，数值最大的瞬时值。 （3）有效值。在研究交流电的功率时，最大值不适合表达交流电产生的效果，于是引入有效值的概念。交流电有效值定义为：如果让交流电和直流电分别通过同样阻值的电阻，两者在相同时间内消耗的电能相等，即产生的
4、热量相等时，则此直流电的数值叫做交流电的有效值。,上一页,下一页,返回,3.1正弦量的基本概念,理论和实验均可证明，正弦交流电流、电压、电动势的有效值与最大值之间的关系为,上一页,下一页,返回,3.1正弦量的基本概念,3.相位、初相和相位差 （1）相位。函数表达式中（t+0）是正弦交流电随时间变化的（电）角度，称为该正弦交流电的相位角，简称相位。 （2）初相。t=0时，t=0，此时正弦量相位角所对应的相位角0称为初相， （3）相位差。在分析正弦交流电路时，常常要对正弦量之间的相位角进行比较。我们把频率相同的同种函数形式的正弦量的相位之差称为相位差，用表示。相位差的取值范围是| 。,上一页,返回
5、,3.2正弦量的相量表示法,3.2.1复数的几种形式 1.代数形式 图3-3为复平面图，A为复数，横轴为实轴，单位是+1，a是A的实部，b是A的虚部，为A的模。 复数代数式表达形式为A=a+jb 2.三角形式 用三角形式表示时，将复数A写成,上一页,下一页,返回,3.2正弦量的相量表示法,3.指数形式 利用欧拉公式 4.极坐标形式 在电工中还常常把复数写成如下的极坐标形式，即,上一页,下一页,返回,3.2正弦量的相量表示法,3.2.2复数运算 1.复数的加减 2.复数的乘除,上一页,下一页,返回,3.2正弦量的相量表示法,3.2.3相量与复数 当频率给定时，一个正弦量可以用复数来描述，这个复数
6、称为正弦量的相量；即一个正弦量对应一个相量（复数），用相量（复数）的模表示正弦量的有效值，辐角表示正弦量的初相。以交流电流为例，其相量图如图3-4所示。 从图3-3与图3-4的对比不难看出，交流电的相量与复数的对应关系为 交流电的相量 交流电的有效值I=,上一页,下一页,返回,3.2正弦量的相量表示法,交流电的初相= 且 相量常用的两种表示形式为 代数式 极坐标式,上一页,返回,3.3基尔霍夫定律的相量形式,3.3.1基尔霍夫电流定律的向量形式 基尔霍夫电流定律对电路中的任一节点任一瞬时都是成立的，即 上式表明：流出（流入）任一节点的电流相量之和等于零。这就是基尔霍夫电流定律在正弦交流电路中的
7、相量形式。它与直流电路中的基尔霍夫电流定律的形式I=0是相似的。,下一页,返回,3.3基尔霍夫定律的相量形式,3.3.2基尔霍夫电压定律的相量形式 基尔霍夫电压定律对电路中的任一回路任一瞬时都是成立的，即 上式表明：电路中任一回路的电压相量之和等于零。这就是基尔霍夫电压定律在正弦交流电路中的相量形式。它与直流电路中的基尔霍夫电压定律的形式U=0是相似的。,上一页,返回,3.4正弦电流电路中的电阻元件,3.4.1电阻元件欧姆定律的向量形式 假定电阻元件是线性元件，则电阻的电压、电流在正弦稳态下是同频率的正弦量，相关的运算可以用向量进行。 关联参考方向下电阻元件的电压电流关系为u =Ri 设电阻元
8、件的正弦电流为 则电阻元件的电压为 即 则有 写成向量形式为,下一页,返回,3.4正弦电流电路中的电阻元件,由此可得出以下几点结论： （1）将瞬时值形式的欧姆定律中电压、电流换成相应的相量后，同样满足欧姆定律。 （2）电阻元件电压的有效值等于电阻元件电流的有效值与电阻的乘积，即电压、电流的有效值也满足欧姆定律 （3）电阻元件电压的相位等于电阻元件电流的相位， 波形图和向量图如图3-5所示。,上一页,下一页,返回,3.4正弦电流电路中的电阻元件,3.4.2电阻元件的功率 1.瞬时功率PR 在正弦稳态情况下（设电流的初相为零，即i=0），电阻元件的瞬时功率为,上一页,下一页,返回,3.4正弦电流电
9、路中的电阻元件,2.平均功率（有功功率）P 通常所说的正弦交流电路的功率是指一个周期内的平均功率，它反映元件实际消耗电能的情况，所以又称有功功率，用大写字母P来表示，单位为瓦（W）。如25 W白炽灯、100 W的电视机等都是平均功率或有功功率。 上式中第二项为零，所以,上一页,返回,3.5正弦稳态电路中的电感元件,3.5.1电感元件欧姆定律的相量形式 在正弦稳态的情况下，通过电感元件的电流为 在关联参考方向下，电感的端电压为 设： 则有：,下一页,返回,3.5正弦稳态电路中的电感元件,写成向量形式为 用相量表示电感元件电压与电流的关系，则为,上一页,下一页,返回,3.5正弦稳态电路中的电感元件
10、,3.5.2电感元件的功率 1.瞬时功率 当电压、电流的参考方向相关联时，电感吸收的瞬时功率为 2.平均功率（又称有功功率）PL 在正弦稳态的情况下，电感元件的平均功率为：,上一页,下一页,返回,3.5正弦稳态电路中的电感元件,3.无功功率QL 无功功率表示电感与电源之间进行能量交换规模的量。在正弦稳态的情况下，电感的无功功率为 3.5.3电感元件中储存的磁场能量 在电压与电流关联参考方向下，电感元件吸收的功率为,上一页,下一页,返回,3.5正弦稳态电路中的电感元件,在dt时间内，电感元件磁场中的能量增加量为 在dt时间内，电感元件磁场中的能量增加量为 电流为0时，磁场也为0，即无磁场能量。当
11、电流由0增大到i时，电感元件储存的磁场能量为,上一页,返回,3.6正弦稳态电路中的电容元件,3.6.1电容元件欧姆定律的相量形式 在正弦稳态的情况下，假设通过电容元件的两端的电压为在正弦稳态的情况下，设通过电容元件的电压为 在关联参考方向下，电容的电流为,下一页,返回,3.6正弦稳态电路中的电容元件,设： 则有： 写成向量形式为： 用相量表示电容元件电压与电流的关系，则为,上一页,下一页,返回,3.6正弦稳态电路中的电容元件,3.6.2电容元件的功率 1.瞬时功率Pc 当电压、电流的参考方向相关联时，电容C吸收的瞬时功率（设n=0)为 图3-8画出了瞬时功率随时间的变化规律。,上一页,下一页,
12、返回,3.6正弦稳态电路中的电容元件,2.平均功率（又称有功功率）PC 在正弦稳态的情况下，电容元件的平均功率为 3.无功功率QC 无功功率表示电感与电源之间进行能量交换规模的量。在正弦稳态的情况下，电容元件的无功功率为,上一页,下一页,返回,3.6正弦稳态电路中的电容元件,3.6.3电容元件中储存的电场能量 在电压与电流关联参考方向下，电感元件吸收的功率为 在dt时间内，电容元件电场中的能量增加量为 电压为0时，电荷也为0，即无电场能量。当电压由0增大到u时，电容元件储存的电场能量为,上一页,返回,3.7复阻抗、复导纳及其等效变换,3.7.1复阻抗与复导纳 1.复阻抗Z 如图3-9所示是一个
13、含线性电阻、电感和电容元件，但不含独立电源的二端网络N0，当它在角频率为的正弦电压（或正弦电流）激励下处于稳定状态时，端口的电流（或电压）将是同频率的正弦量。因此定义端口电压相量 与电流相量 的比值为该端口的复数阻抗（简称复阻抗），用Z表示。 根据定义得：,下一页,返回,3.7复阻抗、复导纳及其等效变换,2.复导纳Y 复导纳定义为同一端口上电流相量与电压相量之比，用Y表示。即 3.7.2单个元件的复阻抗与复导纳 （1）纯电阻、纯电感和纯电容元件的复阻抗分别是：,上一页,下一页,返回,3.7复阻抗、复导纳及其等效变换,（2）纯电阻、纯电感和纯电容元件的复导纳分别是： 3.7.3阻抗Z与导纳Y的等
14、效变换 （1）对于RLC串联电路，其等效阻抗为：,上一页,下一页,返回,3.7复阻抗、复导纳及其等效变换,所以等效导纳为： （2）如果已知某二端网络等效电纳Y =G +jB，则等效阻抗为：,上一页,下一页,返回,3.7复阻抗、复导纳及其等效变换,3.7.4复阻抗（复导纳）的串联与并联 正弦交流电路中的复数阻抗Z与直流电路中的电阻R是相对应的，因而直流电路中电阻的串并联公式同样可以扩展到交流电路中，用于复阻抗的串并联计算。 1.复阻抗的串联 由n个阻抗串联组成的电路，其等效阻抗为 各个阻抗的电压分配与阻抗成正比，表达式为,上一页,下一页,返回,3.7复阻抗、复导纳及其等效变换,2.复阻抗的并联
15、对于由n个导纳并联组成的电路，其等效导纳为 各个导纳的电流分配与导纳成正比，表达式为,上一页,返回,3.8正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高,3.8.1正弦稳态电路的功率 1.瞬时功率p 无源二端网络的端口电压和端口电流的关联参考方向如图3-11所示，设端口电压、电流的瞬时表达式分别为：,下一页,返回,3.8正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高,根据上式，则一端口网络吸收的瞬时功率为 其波形如图3-12所示，图中同时画出了电压、电流的波形。,上一页,下一页,返回,3.8正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高,2.平均功率（又称有功功率）P 由于一端口网络中一般总有电阻，而电阻又要消耗功率，所以
16、一端口网络吸收的瞬时功率虽然有正有负，但一端口网络吸收的平均功率一般恒大于零。平均功率是瞬时功率在一个周期内的平均值，又称为有功功率，即,上一页,下一页,返回,3.8正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高,3.无功功率Q 工程上我们引入无功功率的概念，用Q表示。其表达式为 它与瞬时功率中的无功分量有关，相对于有功功率而言，它不是实际做功的功率，而是反映了二端网络与外部能量交换的最大速率。,上一页,下一页,返回,3.8正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高,无功功率对供、用电产生一定的不良影响，主要表现在： （1）降低发电机有功功率的输出。 （2）降低输、变电设备的供电能力。 （3）造成线路电压损失增大和电能损耗的增加。 （4）造成低功率因数运行和电压下降，使电气设备容量得不到充分发挥。 4.视在功率S 电力设备的容量是由其额定电流与额度电压的乘积决定的，因此定义二端网络电流的有效值与电压有效值的乘积为该网络的视在功率，用S表示，即S =UI,上一页,下一页,返回,3.8正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高,5.功率三角形 有功功率、无功功率和
