《重点初中数学竞赛精品标准教程及练习：十进制的记数法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重点初中数学竞赛精品标准教程及练习：十进制的记数法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(25)十进制的记数法一、内容提要1. 十进制的记数法就是用0，1，29十个数码记数的方法，位率是逢十进一.底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位数第1位)， 101=10(十位上的数-第2位)，102=100(百位上的数-第3位)，10n(第n+1位上的数) 例如54307记作5104+4103+3102+0101+71002. 十进制的n位数(n为正整数)， 记作：10n-1a1+10n-2a2+10n-3+102an-2+10an-1+an 其中最高位a10，即0a19，其它是0a1,a2,a3an93. 各位上的数字相同的正整数
2、记法：例如999=100011031，99991041，10n-1，4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论.二、例题例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数.解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1105x ，新六位数为10x1，根据题意，得10x13（1105x）7x=299999 x=42857 原六位数是142857例2. 设n为正整数，计算1解：原数（10n 1）（10n 1）+110n+10n1102n2
3、10n+1+10n+10n1102n例3. 试证明12，1122，111222，这些数都是两个相邻的正整数的积证明：1234，11223334，111222333334注意到333334333（3331）（1）由经验归纳法，得10n+（）（上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积例4. 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除.并把它推广到n位正整数，也有同样的结论.证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得a+b+c+d=9k (k为正整数)，d=9ka bc,代入原四位数，得103a+102b+10c9ka bc（1031）a
4、+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) 111a+11b+c+k是整数，四位数103a+102b+10c+d,能9被整除推广到n位正整数：n位正整数记作10n1a1+10n-2a2+10an-1+an（1）a1+a2+an-1+an=9k(k是正整数)an=9ka1a2an-1代入（1）得原数10n1a1+10n-2a2+10an-1+9ka1a2an-1（10n-11）a1+（10n-21）a2+9an-1+9k10n-11，10n-21，101分别表示，9原数9（a1a2an+k）这个n位正整数必能被9整除例5. 已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个
5、数字和.求：这个三位数.解：设这个三位数为102a+10b+c 其中0a9, 0b,c99ab且8 a-b+c18它能被11整除，a-b+c只能是11或0. 当a-b+c11时，商是9a+b+1,根据题意得9a+b+1a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9, b=a+c-11=-1不合题意 当a-b+c0时，商是9a+b, 9a+b= a+b+c且a-b+c11解得答这个数是198例6. 一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数.解：顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, 可知它们都是四位数设原四位数的千位、百位、十位
6、上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17 +) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位) 8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17从百位上看c+b=8 (进入千位) 可知 c+b=17 (2)(2)+(1)得 b-a=80a9 0b9 b=9 a=1, b=9, c=8， c-2=6 答这个正整数是1986三、练习251. 设a是个两位数，b是三位数.当a接在b的左边时，这个五位数应记作_，当a接在b 的右边时，这个五
7、位数应记作_.2. 有大小两个两位数.大数的2倍与小 数的3倍的和是72.在大数的右边写上一个0再接着写小 数，得到第一个五位数；在小 数的右边写上大数再接着写个0，得到第二个五位数.已知第一个五位数除以第二个五位数得商2，余数590.求这两个两位数.3. 计算：1987198619861986 198719874. 一个22位数，个位数字是7，当用7去乘这个22位数时，其积也是22位数，并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位，其余各数的大小和顺序都不变.求原22位数.5. 试证明：112，111122，各数都能写成某个正整数的平方.（即证明各数都是完全平方数）6. 一个两位数的两个数字对调
8、后，所得新两位数与原两位数的比是47.求符合条件的所有两位数.7. 已知一个六位数乘以6，仍是六位数，且有6求原六位数8. 已知四位数除以9得四位数，求原四位数.9. 一个五位正奇数x，将x中的所有2都换成5，并把所有5都换成2，其余各数不变，得一个新五位正奇数，记作y ，若x,y I满足等式：y=2(x+1),那么x=_10. 已知存在正整数n能使数被1987整除，求证：p=能被1987整除11. 一个三位数被11整除，其商是这个三位数的三个数字的平方和.求符合条件的所有三位数.12. 一个三位数，它的十位上数字比百位上数字小2，而个位数比百位上数字的算术平方根大7.求这个三位数.13. 求
9、证：是一个合数.练习25参考答案：1.1000a+b, 100b+a 2. 21,10 3. 04. 仿例1，这数是10144927536231884057975. 6.21，42，63，847.1428578.98019.2999510. 原数可化为（103n+9102n+810n+7）11. 550或80312.42913.原数可化为：(101990-1)=(10995+1)(10995-1)袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿
10、袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂
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