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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(70)正整数简单性质的复习一. 连续正整数一. n位数的个数:一位正整数从1到9,共9个,两位数从10到99,共90个,三位数从100到999共9102个,那么 n位数的个数共_.(n是正整数)练习:1. 一本书共1989页,用0到9的数码,给每一页编号,总共要用数码个. 2.由连续正整数写成的数12349991000是一个_位数; 10011002100319881989是_位数. 3. 除以3余1的两位数有_个,三位数有_个,n位数有_个. 4. 从1到100的正整数中,共有偶数_个,含 3的倍数_个; 从50到1000的正整数中,共有偶数_个,含3的倍数_
2、个.二. 连续正整数的和:1+2+3+n=(1+n).把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模m有同余数的连续数的和.练习:5.计算2+4+6+100=_.6. 1+3+5+99=_.7. 5+10+15+100=_.8. 1+4+7+100=_.9. 1+2+3+1989其和是偶数或奇数?答_10. 和等于100的连续正整数共有_组,它们是_.11. 和等于100的连续整数共有_组,它们是_.三. 由连续正整数连写的整数,各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是:(0+9)+(1+8)+(4+5)=95=45;123499100各位数字和是(0+99)+(1+98)+(49+50)
3、+1=1850+1=901.练习:12. 整数 12349991000各位上的数字和是_.13. 把由1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止:这个数用9除的余数是_.14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数123499100中: 它是一个_位数; 它的各位上的数字和等于_; 从这一数中划去100个数字,使剩下的数尽可能大,那么 剩下的数的前十位是_.四.连续正整数的积: 123n 记作n ! 读作n的阶乘. n个连续正整数的积能被n!整除.如:2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)(a+n1). a为整数. n! 中含有质因数m的个数
4、是+.x表示不大于x的最大正整数,i=1,2,3 min如:12310的积中,含质因数3的个数是:=3+1=4练习:15. 在100!的积中,含质因数5的个数是:_16.一串数1,4,7,10,697,700相乘的积中,末尾共有零_个 17. 求证:10494 | 1989!18. 求证:4! | a(a21)(a+2) a为整数五. 两个连续正整数必互质练习:19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数,试证之.二. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作:an10n+an110n1+a110+a0 其中n是正整数,且0ai9 (i=1,2,3,n)的整数, 最高位a
5、n0.例如:54321=5104+4103+3102+210+1.例题:从12到33共22个正整数连写成A=1213143233. 试证:A能被99整除.证明:A=121042+131040+141038+31104+32102+33 =1210021+1310020+141019+311002+32100+33. 100的任何次幂除以9的余数都是1,即100 n=(99+1) n1 (mod 9) A=99k+12+13+14+31+32+33 (k 为正整数 ) =99 k+(12+33)+(13+32)+(22+23) =99k+4511 =99k+995.A能被99整除.练习:20.
6、把从19到80的连结两位数连写成192021227980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例=10 n1, =(10 n1), (10 n1).例题:试证明12,1122,111222,11112222,这些数中的任何一个,都是两个相邻的正整数的积.证明:第n个数是=10 n+ =(10 n+2)=. 证毕.练习:21. 化简 +1=_.22. 化简 =_.23. 求证 是合数.24. 已知:存在正整数 n,能使数被1987整除. 求证:数p=和 数q=都能被1987整除. 25. 证明: 把一个大于1000的正整数分为末三位一组,其余部分一组,若这两组数的差,能被7(或13)整
7、除,则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证:15+1是完全平方数.三. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时,N (a)=4;a=3时,N (a)=3. 1. N (a4k+r)=N (ar) a和k都是整数,r=1,2,3,4. 特别的: 个位数为0,1,5,6的整数,它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4,9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b)N (ab)=010 |(ab).3. 若N (a)=a0, N (b)=b0. 则N (an)=N (a0n); N (ab)=N (a0b0).例题1:求53100 ; 和
8、 7的个位数.解:N (53100)=N (3424+4)=N (34)=1先把幂的指数77化为4k+r形式,设法出现4的因数.77=777+7=7(761)+4+3=7(721)(74+72+1)+4+3 =7412 (74+72+1)+4+3 =4k+3 N(7)=N(74k+3)=N(73)=3.练习:27. 19891989的个位数是_,9的个位数是_.28. 求证:10 | (1987198919931991).29. 2210331577205525的个位数是_.二. 自然数平方的末位数只有0,1,4,5,6,9;连续整数平方的个位数的和,有如下规律:12,22,32,102的个位
9、数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和 例题1. 填空:12,22,32,1234567892的和的个位数的数字是_. 解:12,22,32,102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20;21到30;31到40;123456781到123456789,的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是:(1+4+9+6+5+5+9+4+0)(12345678+1)的个位数5. 2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证:任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明:(用反证法)设五个连续
10、整数的平方和是完全平方数,那么可记作:(n2)2+(n1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2 (n, k都是整数)5(n2+2)=k2 . k2是5的倍数,k也是5的倍数.设k=5m, 则5(n2+2)=25m2. n2+2=5m2.n2+2是5的倍数,其个位数只能是0或5,那么 n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数,都不可能是8或3. 假设不能成立 任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知:a是正整数.求证: a(a+1)+1不是完全平方数 证明:a(a+1)+1=a2+a+1,且a是正整数 a2 a(a+1)+1=a2+a+1
11、1的正整数) 不是完全平方数 证明:根据奇数的平方数除以4必余1,即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 =4k+11=4k+42+3=4(k+2)+3即除以4余数为3,而不是1,它不是完全平方数.例题5. 求证:任意两个奇数的平方和,都不是完全平方数.证明:设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2. 这表明其和是偶数,但不是4的倍数,故任意两个奇数的平方和,都不可能是完全平方数.三. 魔术数:将自然数N接写在每一个自然数的右面,如果所得到的新数,都能被N整除,那么N称为魔术数.常见的
12、魔术数有:a) 能被末位数整除的自然数,其末位数是1,2,5(即10的一位正约数是魔术数)b) 能被末两位数整除的自然数,其末两位数是10,20,25,50(即100的两位正约数也是魔术数)c) 能被末三位数整除的自然数,其三末位数是100,125,200,250,500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习:30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_.四. 两个连续自然数,积的个位数只有0,2,6;和的个位数只有1,3,5,7,9. 练习:31. 已知:n是自然数,且9n2+5n+26的值是两个相邻自然数的积,那么n的值是:_. 四. 质数、合数1. 正整数的一种分类:2. 质数中,偶数只有一个是2,它也是最小的质数.3. 互质数:是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数. 例题:试写出10个连续自然数,个个都是合数.解:答案不是唯一的,其中的一种解法是:令A=1234567891011那么A+2,A+3,A+4,A+5,A+6,A+7,A+8,A+9,A+10,A+11就是10个连续