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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(56)列表法一、内容提要 只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤. 图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解. 使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰
2、的基础上，推出满足所有条件的结论.二、例题例1. n为正整数，试证2 n+7 n+2能被5整除.解： n分别取1，2，3，4时，观察2 n+7 n+2的个位数字情况如下： n12342n的个位数24867n+2的个位数31792n+7n+2的个位数5555并且2 4k+n与2 n； 74k+(n+2) 与7n+2(k为整数)的个位数字相同. n 不论取什么自然数值，2n+7n+2均能被5整除.例2. 小张步行每小时走10里，骑车每小时走30里，他从甲地到乙地步行和骑车走了同样长的路程；然后沿着同一条路从乙地返回甲地，这次步行和骑车走了同样多的时间，结果返回时比去时少用了40分钟.求甲、乙两地的
3、距离及从乙到甲所用的时间.解：设甲乙两地的距离为x里，从乙到甲所用的时间是y 小时. 列表如下： 从甲到乙从乙到甲S里 里x里VV步=10 V车=30V步=10 V甲=30Ty+(时) 根据题意，得 解这个方程组，得答：甲乙两地的距离为40里，从乙返甲用了2小时.例3. 从1到10这十个自然数中，每次取两个，要使它们的和大于10，共有几种取法？试列表统计.解：有两种列表法：由大数取小数或以小数取大数 较大数 较 小 数取法种数 101，2，3，4，5，6，7，8，9，9 92，3，4，5，6，7，8， 7 8 3，4，5，6，7， 5 7 4，5，6， 3 6 5， 1 共有9+7+5+3+1
4、=25种取法. 较小数较 大 数取法种数 110,1 210，9, 2 310，9，8 , 3 4 10，9，8，7, 4 510，9，8，7，6， 5 610，9，8，7， 4 710，9，8， 3 8 10，9， 2 910, 1 共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法.例4. A，B，C，D，E五个人，每人头上戴一顶帽子，只有红或白两种颜色中的一种.他们看见别人所戴的帽子颜色，分别说了以下的话： A说：我看到的是3白1红； B说：我看到的是4红； C说：我看到的是1白3红； E说：我看到的是4白.已知戴白帽子的人说真话，而戴红帽子的人说假话.试判断A，B，C，D，E各戴什么颜
5、色的帽子.解：先由易到难，用否定判断法：若E说了真话，则共有5白，即大家都说了真话，这与其他人所说内容相矛盾，所以E必是戴红帽；若A说了真话，则共有4白1红，那么 除A、E以外，还有2人说真话，就是B、C也说真话，这也不可能，所以A也 戴红帽；在确定A、E之后，我们把B、C说真话或假话的情况列表来判断：ABCDE设B说真话红白 红设C说真话红红 白 白 红若B说真话，则C、D都为红(B看到的是4红)，那么C应是说假话，但C说1白3红却是真的，所以矛盾，B没有说真话，应是戴红帽.最后，C确实说了真话(看到1白3红).这时可知D是戴白帽.A，B，C，D，E所戴帽子的颜色分别是：红，红，白，白，红.
6、三、练习561. 用列表法,求不等式(2x+1)(x2)(x3)0的解集 当x取值为 xx22x32x+1的符号x2的符号x3的符号(2x+1)(x2)(x3) 的符号 不等式(2x+10(x2)(x3)0的解集是_或_2. n为自然数,3n与7n的和或差必有一个能被10整除.试证之，并说明n取什么值时，其和能被10整除.3. 若自然数a不是2和3的倍数，试证a2+23能被24整除.4. 原计划在一定时间内插秧152亩，实际工作时，每天比原计划多插2亩，结果比原计划提前3天并超额完成8亩.问原计划每天插秧几亩？5. 甲，乙两人接受同样的任务，开始时乙比甲每天少做4件，做到两人都剩下624件时，
7、乙比甲多用了2天.此后乙改进技术，每天比原来多做6件，这样两人在同一时间内定成任务.求甲、乙两人的工作效率.6. A，B，C，D，E，F六个球队，进行单循环比赛（每队都要与其他各队各比赛一场），经过一段时间询问了A，B，C，D，E五个队，结果是他们都参加了比赛，并且比赛的场数各不相同，问未查询的F队比赛了几场？7. 甲，乙，丙三人参加高考后，甲说：我一定考上重点大学.乙说：重点大学我考不上.丙说：我考上大学是没有问题的.发榜后，这三人中有一人考上重点天学，一人考上一般大学，一人落选.对他们的预言，只有一人正确.试判断甲，乙，丙的录取情况.8. 甲，乙，丙三同学，来自初三，班各一人，参加语、数、
8、英兴趣小组各一项.已知甲不是班的，乙不在班，在班的不参加数学组，在班的参加英语组，乙不参加语文组.问丙是哪个班？参加什么组？9. 甲，乙，丙，丁四人参加数学竞赛，得了前四名，三位同学在议论名次.A说：甲第一，乙第二；B说：甲第二，丁第四；C说：丙第二，丁第三.结果他们各对了一半.问甲，乙，丙，丁的正确名次是多少？10. 一次校运会，小王，小林，小江三人包揽了五个项目的前三名，小王共得22分，小林，小江各得9分，每项目的一，二，三名得分，分别是5，2，1分，并知小江得铅球第一名.试问他们各得几个第一名，第二名，第三名？ 11. 四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三
9、个人会说，但没有一种大家都会说的语言.还知道： A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈； B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译； B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言； 四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.练习56参考答案：2.列表n=1,2,3,4(仿例13.已知可表示为6k14.8亩5.24，206.3场（仿例3）7.甲落选，乙重点，丙一般8.丙是（1）班学生，参加语文组9.甲，乙，丙，丁分别是1，3，2，4.10. 王（4个一，1个二）；江（1个一，4个三）；林（4个二，1个三）.项目ABCD英语0011法语0110日语1000汉语110
10、111. 用1表示会说，0表示不会说该种语言，答案列表如右：袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃
11、螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀
12、蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈
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