《重点初中数学竞赛精品标准教程及练习：二元一次方程的整数解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重点初中数学竞赛精品标准教程及练习：二元一次方程的整数解（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（10）二元一次方程的整数解一、内容提要1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解.即如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解.例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解.返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，（9，3）3，而3不能整除10；（4，2）2，而2不能整除1.一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值.2， 二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都
2、有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）.k叫做参变数.方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x= (1) , 设是整数），则y=1-5k (2) ,把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是（k是整数）方法二，公式法：设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）3， 求二元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 用观察法直接写出.二、例题例1求方程5x9y=18整数解的能通解解x=设（k为整数），y=35k,代入得x=99k 原方程整数解是（k为整数） 又解：当x=o时，y=2，方程有一个整数解
3、它的通解是（k为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的.例2，求方程5x+6y=100的正整数解解：x=(1)， 设(k为整数)，则y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，解不等式组得0k,k的整数解是1，2，3，正整数解是例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得3x+5y=38（x,y都是正整数）x1时，y=7，是一个整数解通解是（k为整数）解不等式组得解集是整数k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本.三、练习101， 求下列方程
4、的整数解公式法：x+7y=4, 5x-11y=3整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42,求方程的正整数解：5x+7y=87,5x+3y=1103，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数.5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号） 4x2y=11, 10x-5y=70, 9x+3y=111,18x-9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一张试巻有20道选择题，选对每题
5、得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？7用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：y=142x=1. 三、练习10参考答案：公式法由特解得通解（k为整数）由特解得通解（为k整数） 整除法x=-3y,通解是（k为整数）通解是（k为整数）2. 3.有6种截法4.16，135.A，D. 6.127.（略） 袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂
6、羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆
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9、羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄
10、芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁
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