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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(61)函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义:在直角坐标系中,以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合,叫做函数y=f(x)的图象.例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数,k 0)的图象是一条直线l. l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标,适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b; 若y1=kx1+b,则点p1(x1,y1) 在直线l 上.2. 方程的图象:我们把y=kx+b 看作是关于x,y 的 二元一次方程kxy+b=0,那么直线l就是以这个方程的解为坐标的点的集合,我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+
2、by+c=0 (a,b,c是常数,a0,b0) 叫做 直线方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合,那么这曲线就叫做这个方程的图象.例如:二元二次方程y=ax2+bx+c(a0) (即二次函数)的图象是抛物线; 二元分式方程y=(k0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律.例如: 由图象的最高,最低点可看函数的最大,最小值; 由图象的上升,下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小); 函数y=f(x)的图象在横轴的上方,下方或轴上,分别表示y0,y0,f(x)0 的解集和方程f(x)=0的解. 两个
3、函数图象的交点坐标,就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是:应先确定自变量的取值范围.要使代数式有意义,并使代数式所表示的实际问题有意义,还要注意是否连续,是否有界.一般用描点法,但对一次函数(二元一次方程)的图象,因它是直线(包括射线、线段),所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ,应按定义对自变量分区讨论,写成几个解析式.二、例题例1.右图是二次函数y=ax2+bx+c(a0),试决定a,b,c 及b24ac的符号.解:抛物线开口向下,a0且a0.抛物线与纵轴的交点在正半轴上,截距c0.抛
4、物线与横轴有两个交点, b24ac0.例2. 已知:抛物线f:y=(x2)2+5.试写出把f向左平行移动2个单位后,所得的曲线f1的方程;以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程.画出f1和f2的略图,并求:(1) x的值什么范围,曲线f1和f2都是下降的;(2) x的值在什么范围,曲线f1和f2围成一个封闭图形;(3) 求在f1和f2围成封闭图形上,平行于y轴的线段的长度的最大值.解:f1:y=x2+5 (由顶点横坐标变化确定的), f2 :y=(x2)25 (由开口方向相反确定的).(1)当x0时,f1下降,当x2时,f2下降,当0x2时,曲线f1和f2都是下降的.(2)求两曲线的交点横坐
5、标,即解方程组x22x3=0 . x=1;或x=3. 当1x 3时,曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上,平行于y轴的线段的长度,就是对应于同一个横坐标,两曲线上的点的纵坐标的差.在区间 1x 3内,设f1 上的点P1(x,y1), f2 上的点P2(x,y2),求y1y2的最大值,可用配方法:y1y2(x2+5) (x2)252x2+4x+62(x1)2+8. 20,y1y2有最大值.当x=1 时,y1y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=的图象.解: 自变量x的取值范围是全体实数,下面分区讨论:当x1 时,y=(x+1)(x2)=2x+1;当1 x2时,y=
6、x+1(x2)=3 ; 当x 2时, y=x+1+x2=2x1. 即y= x2123y=2x+1(x1)53y=3(1x2)33y=2x1(x2)35画函数y=的图象如下图:例4. 画方程x2+y2=1 的图象, m 表示不超过m 的最大整数.解:x20,且y2=1x20,x21 . 0x21.m 表示不超过m 的最大整数,当x2=0x=00x1 . 当x2=1x= 自变量x的取值范围是:1x2.x1x0 0 x11x2 x101x2101y2=1x2 010 y0110 y0y11y01y20y0,那么y=kx+k中,当k0时,直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D); 注意到y=1中,
7、 当x=0和x=1时 y有最大值1,故选(A).三、练习611. 填空: 横坐标为2的点的集合,记作直线,纵轴记作直线,横轴记作直线,横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线,经过一、三象限,平分两坐标轴夹角的直线记作方程. 点P(x,y)关于横轴的对称点P1的坐标是(),点P关于原点的对称点P2的坐标是().f:y=3(x2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作f关于原点对称的抛物线f2记作. A(1,3)关于直线y=x的对称点A,的坐标是().点B(2,3)关于直线y=x的对称点B,的坐标是().2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 直线y=kx+b经过二、一、四象限,则k,b的符号是
8、抛物线y=ax2+bx+c的位置,如图所示,试确定下列代数式的符号a_, _,b_,c_,b24ac_,_3. 选择题(只有一个正确的答案)(1)下图(1)是一次函数px+qy+r=0的图象,下列条件正确的是().(A)p=q, r=0 .(B) p=q, r=0.(C)p=q, r=1.(D) p=q, r=1.(2)下图(2)是二次函数y=ax2+bx+c的图象,如下答案哪个正确?()(A)a+b+c=0.(B)a+b+c0.(D)a+b+c值不定. (1) (3)二次函数y=a(x+m)2+n中,a0 , m0, n0 它的图象()(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn0,
9、 那么它们在同一坐标系内的图象大致为()5(D)(5)在同一坐标系内,y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是()(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是())(x-6)(x+2 = 0.2)(xf-5 4.画下列函数的图象y=; y=; y=()2; y=.5.有m部同样的机器,同时开始工作,需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务,求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系,并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ;y=x22|x|3.7.这是一张追及图看图回答:谁追及谁?谁早出发,早几小时?甲、乙在这段路程速度各
10、多少?追的人从出发到追上,用了几小时?走多少路程?分别列出甲、乙两人的路程y甲,y乙和时间x的函数关系的解析式.8.如图,抛物线L1:y=ax2+2bx+c和抛物线L2:y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.判断哪条抛物线经过A、B、C三点,说明理由;.求出点B和点C的横坐标;.若ABBC,OCOD,求a,b,c的值 . 9.坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点), 试在二次函数 y=-1CBDA1的图象上找出满足y的所有整点(x,y), 并说明理由.(8)练习61参考答案:1. x=2,x=0,y=0,y=x,y=x;(x,y),(x,y);y=3(x2)25, y=3(x+2)25(3,1),(3,2) 2.k0.正,负,正,负,负,正,