平面向量的实际背景及基本概念（刘娟）

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1、教材：人教A版高中数学必修4课题：2.1 平面向量的实际背景及基本概念授课教师：安徽省合肥市第一中学刘娟一. 教学内容解析向量是近代数学重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用. 向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小, 又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的

2、作用.本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用. 本节概念课，更为重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，分析问题，解决问题的能力.本节课主要内容包括向量的物理背景与概念，向量的表示，相等向量与共线向量.2. 教学目标设置1. 了解向量的实际背景；2. 理解平面向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念，掌握向量的几何表示；3. 经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路三. 学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的

3、特殊性. 还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备. 从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念.学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础. 学生的易混点是向量的几何表示（有向线段）与平面向量，学生的易错点是，在解

4、决向量问题时，不能从向量的两个要素全面考虑，顾此失彼.四教学策略分析本节课的难点是平面向量的概念，共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程，突破策略主要是：1. 创设问题情境，让学生从初步感悟生活中既有大小，又有方向的量开始，逐步增加信息，以期达到上升到理性认识所需的信息量； 2. 学生适度模仿抽象数量概念的过程，从同类事物中抽象概括得到向量的概念； 3. 学生比较向量和数量的区别，进一步理解向量概念；4. 引导类比思考，让学生将已学习过的直线（段）平行和共线与共线向量这一新知之间建立联系；5. 类比数的表示引出向量几何表示的必要性，从特殊向量（浮力）的有向线段表示推广到一般向量的几何表示，用

5、直观的有向线段表示抽象的向量.在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作举例，让学生自主建构向量和共线向量的概念这样做可使学生经历新概念产生的过程，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新概念、解决新问题的方法五重点与难点1. 重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；2. 难点：向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程六教学方法与教学手段问题引导教学法，启发式教学，小组合作学习七教学过程1. 创设情境建构概念【引例】学生在教师节发来的一条祝福短信：“刘老师您好，祝您教师节快乐！我考到了一个离合肥直线距离800公里的大城市

6、读大学，目前在军训了，您猜我在哪个城市？”设计意图通过学生熟悉的问题情境，引发学生思考.只有大小，没有方向，并不能给出具体的位置，从而指出位移是一个既有大小, 又有方向的量.教学片段师：经过百度地图的搜索，教师定位地图上离合肥800公里的大城市有天津、 西安、厦门三个.你能否确定是哪个城市呢？生：不能.师：为什么不能确定呢？生：因为只知道从合肥到这个城市的位移的大小，并不知道方向.师：这么说位移不仅要求有大小，而且有方向.【问题1】你能否再举出一些既有大小，又有方向的量？设计意图激活学生的已有相关经验.进一步直观演示，加深印象. 再追问有没有只有大小，没有方向的量的问题，通过两相对比，突显向量

7、的两大要素.教学片段生：重力、浮力、弹力.师：生活中有没有只有大小，没有方向的量？生：年龄、身高、面积、体积等.师：回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书中抽象出 只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移这些既有大小, 又有方向的量进行抽象， 形成一种新的量.师：数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有 大小，没有方向的量称为数量.向量在物理学中常称为矢量，数量在物 理学中常称为标量.【本章简介】向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（

8、减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.设计意图本节课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用，有必要对本节内容在数学学习研究中的地位做一个简要的介绍.回答平面向量这一章“是什么”、“为什么学”、“学什么”、“怎么学”，激发学生学习兴趣，明确学习任务，指明向量的研究对象及研究方法.(板书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念.)(板书：既有大小，又有方向的量叫做向量.)2. 几何表示 理解概念 【问题2】 实数在数轴上是如何表示的？ 设计意图 类比

9、实数的点表示，寻求向量的几何表示.教学片段生：可以用数轴上的点表示.师：同学们都知道实数常常可以用数轴上的一个点来表示，而且不同的点表 示不同的实数.请同学们在数轴上画出表示实数0, 1的点，再画出表示 实数a的点. 生：在稿纸上画出数轴，并标注点的位置（如图1所示）.图1 师：实数a是一个数量，数轴上表示它的点是一个点A，一个点也是几何 图形，这里实际上就是用几何图形（数轴上的一个点）来表示了实数a， 数量可以这样，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平 面向量呢？ 【师生互动】 两回顾、一探究：回顾浮力在物理中如何表示，回顾实数中绝对值符号的使用，探究向量的几何表示和字母表示以及

10、向量的模的字母表示.设计意图 用“带箭头的线段”表示浮力，是初中物理已学习过的内容，是学生的“最近发展区”，将这一内容再次进行条理化、系统化，是强化、固化新知的“停泊点”，让旧知自然地“生长”出新知.在实数的两边画上两条平行、等长的竖线段表示“表示实数的点到原点的距离”，这是学生已经熟练掌握的绝对值的几何意义，将这一符号表示方法类比到向量的模的字母表示上是自然的.教学片段师：如图2，有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是10N， 另一个木块所受到的重力的大小为20N. 同学们试在练习纸中画出两 个物体所受到的浮力，练习纸中已经给出了表示10N的线段长度.生：作图，并表示浮力(如图2所

11、示).10N图2师：表示这两个木块所受浮力大小的线段哪个更长？生：表示浮力大小为20N的线段更长.师：一般地，可以按一定比例画出一条线段，它的长短表示向量的大小. （板书设计：画一条线段，标注线段AB，也可记作线段a.）师：我们用线段的长短表示了浮力的大小，那浮力的方向同学们又是如何表 示的呢？生：用箭头表示的.师：（板书设计：在已画的线段AB中，以A为起点，B为终点画一个箭头.） 一般地，可以用箭头表示向量的方向，这个图形就是一条线段上带了一个箭头，有线段有箭头，如果给这个图形起一个形象点的名字，你会叫它什么？生：有向线段.师：带有方向的线段叫做有向线段.师：线段我们可以用AB、a来表示，有

12、向线段该如何用字母表示呢？师：以A为起点，B为终点的有向线段记作，或者用表示 （板书：，.） 师：这样我们就用有向线段的长度表示向量的长度，用有向线段的方向表示 向量的方向，那我们就可以用有向线段表示向量了.师：表示向量的方向是由A指向B的，那向量的大小又该如何用字母来 表示呢？师：如图1，在数轴上A点表示实数a，那A点到原点的距离该如何表示呢？生：.师：也就是在实数a的两边画两条平行、等长的竖线段（在实数中称为绝对 值）来表示A点到原点的距离.师：类似地，在两边画两条平行、等长的竖线段，来表示向量的大小， 也就是向量的长度（或称模），记作.师：这里需要强调，书上的向量用的是印刷体的黑体字母a

13、表示向量，没有 箭头. 但是我们书写的字母不是印刷体，在表示向量时，必须打上箭头.【问题3】 在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？设计意图 挖掘结果背后的思维过程，引导学生把向量集合与实数集类比.通过0,1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念.教学片段师：现在我们已经建立起了一个向量的集合，就像实数可以构成实数集一样. 如图1，在实数轴上有两个特殊的实数，请问是哪两个？生：0,1.师：类似地，在向量的集合中有两个向量很特殊，一个是长度为零的向量， 叫做零向量，一个是长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. （板书：长度为零的向量，叫做零向量，记作.长度等于1个单位的向 量叫做单位向量.）师

14、：向量是既有大小,又有方向的量.研究向量需要将代数形式和几何形式相 结合.对实数的研究经验告诉我们，引进一个新的数，就要研究它的运 算及运算律.可以预见，引进向量就要研究向量的运算及其相应的运算 律或运算法则.所以对于向量还有很多内容等待我们去研究.3. 探究实例 引出关系 【探究互动】在坐标纸中画出如图3所示的向量.(1) 图中哪些向量是单位向量？(2)三个向量的方向有何关系？(3)在大小和方向上有何关系？图3 设计意图 巩固单位向量的概念；该探究将平行向量、相等向量、共线向量的概念的形成过程串在了一起，并让学生参与这些概念的形成过程，使得概念成为在教师引导下，学生观察、归纳、概括之后的自然

15、产物.教学片段师：坐标纸中哪些向量是单位向量？生：师：为什么它们是单位向量？生：因为它们的模都等于1个单位.师：单位向量和它们的方向有关系吗？生：没有.师：坐标纸中哪些向量不是单位向量？生：师：刚才我们从向量大小的角度找到了单位向量，向量不仅有大小，还有方 向，同学们想一想 这三个向量的方向有何关系？生：与方向相同,与方向相反,与方向相反.师：中有零向量吗？生：没有.师：所在的线段之间的位置关系是什么？生：平行.师：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量，记作. （板书：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量,记作.）师：大家想不想知道零向量的方向？生：想.师：我们规定，零向量与任一向量平行，即对于任意的向量，都有. （板书：.)师：在大小和方向上有何关系？