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1、 第30讲:数列和不等式的微积分证明 251 第30讲:数列和不等式的微积分证明 选修2-2(人教版).第32页习题1.3B组第1(3)题:证明不等式ex1+x,x0.近年来,流行以该不等式及其变形为背景的数列不等式,记忆该不等式及其变形和如何赋值？是解决该类问题的关键; 定积分源于求函数y=f(x)(f(x)0)的图像与直线x=a,x=b(ab)及x轴围成的曲边梯形的面积;其基本思想是:首先在区间a,b内取x1=a,x2,x3,xn=b(x1x2xn);则直线x=x2,x=x3,x=xn-1把曲边梯形分成n个小曲边梯形,用(xi+1-xi)f(xi),或(xi+1-xi)f(xi+1)分别近
2、似代替第i个小曲边梯形的面积,则,或就近似于曲边梯形的面积,且=. 易知,当f(x)单调递增时,;当f(x)单调递减时,; 数列是特殊的函数,若对数列求和不等式与上述积分不等式进行联想,许多数列求和不等式的证明便得心应手,明了顺畅.例1:指数不等式ex1+x.始源问题:(2013年黄冈中学高三上学期期末考试题)在数列an中,a1=1,前n项和Sn满足:nSn+1-(n+3)Sn=0.()求数列an的通项公式;()求证:9.解析:()由nSn+1-(n+3)Sn=0n(Sn+1-Sn)=3Snnan+1=3Snnan+1-(n-1)an=3(Sn-Sn-1)nan+1=(n+2)an=an=;(
3、)由=1+=;而+=2(1-)+(-)+(-)=2(1-)2e29. 利用ex1+x可证明:(1+a1)(1+a2)(1+an),由此可构造:原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:an+Sn=n+3-()n-1.()求数列an的通项公式;()设数列an的前n项积为Tn,求证:Tn9.解析:()当n=1时,a1+S1=3a1=S1=;当n2时,由an+Sn=n+3-()n-1an-1+Sn-1=n+2-()n-2(an-an-1)+(Sn-Sn-1)=1+()n-1an=an-1+()n(an-1)=(an-1-1)+()n2n(an-1)=2n-1(an-1-1)+12n(an-1)=nan
4、=1+n()n;()令bn=n()n,则an=1+bn,且bn的前n项和Mn=2-(n+2)()n2Tn=a1a2an=(1+b1)(1+b2)(1+bn)=e29.原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:an+Sn=n+2.()求数列an的通项公式; 252 第30讲:数列和不等式的微积分证明 ()设数列an的前n项积为Tn,求证:Tn3.解析:()当n=1时,由an+Sn=n+2a1+S1=3a1=S1=1+;当n2时,由an+Sn=n+2an+1+Sn+1=n+3(an+1-an)+(Sn+1-Sn)=1an+1=an+an+1-1=(an-1)an-1=(a1-1)()n-1=()na
5、n=1+()n;()令f(x)=x-ln(1+x)(x)=1-=fmin(x)=f(0)=0f(x)0ln(1+x)xln(1+)+ln1+()2+ln1+()n+()2+()n=1-()n1Tn=(1+)1+()21+()ne3.例2:对数不等式ln(1+x)x.始源问题:(2006年江西高考试题)己知数列an满足a1=,且an=(n2,nN+).()求数列an的通项公式;()证明:对一切正整数n,不等式a1a2an2n！恒成立.解析:()由an=+-1=(-1)-1=-()nan=;()因a1a2an2n！2(1+)(1+)(1+)2;令f(x)=x-ln(1+x)(x)=1-=fmin(
6、x)=f(0)=0f(x)0ln(1+x)xln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+()n-1)+1-()n-3+1时,q1)的求和不等式还可用递推法:如本题an=an-1ana1()n-1=()n-1+=+.一般地,由an=an-1ana1()n-1a1+a2+an.解析:()由f(1)=1,f()=a=b=1xn+1=(+1)-1=(-1)-1=()n-1xn=; ()因x1x2xnlnx1+lnx2+lnxn-(ln2+1)ln+ln+lnln2+1;而ln+ln+ln=ln1+ 第30讲:数列和不等式的微积分证明 253 ()0+ln1+()1+ln1+()n-1(ln(1+x)x)
7、ln2+()1+()2+()n-1ln2+1.原创问题:已知数列an的前n项和满足:Sn=an-2n+.()求数列an的通项公式;()证明:(1+)(1+)(1+)2.解析:()由Sn=an-2n+a1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(an-2n+)-(an-1-2n+2+)an=4an-1+6an=4n-2;()由ln(1+)(1+)(1+)=ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+;而=()n-1+ln(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)2.例3:对数不等式ln(1+x)0).始源问题:(2013年大纲卷高考试题)已知函数f(x)=ln(1+x)-. ()若x0时
8、,f(x)0,求的最小值;()设数列an的通项an=1+,证明:a2n-an+ln2.解析:()因f(0)=0,(x)=-;当1-20,即时,(x)0f(x)f(0)=0;当0f(x)f(0)=0.综上,的最小值=;()令=,由()知,当x0时,f(x)ln(1+x)(令x=)ln=ln(k+1)-lnka2n-an+=+=+=+ln(n+1)-lnn+ln(n+2)-ln(n+1)+ln(2n)-ln(2n-1)=ln(2n)-lnn=ln2.原创问题:设数列an的前n项和Sn满足:S1=3,Sn=an+n2-1.()求数列an的通项公式; ()设数列的前n项和为Tn,xn=Tn-ln,证明
9、:0xn-x4n)-=0xn-xn+10xnxn+1xnx4nxn-x4n0; 又由xn-xn+1=ln(1+)-(ln(1+x)x)-=-xn-x4n=(xn-xn+1)+(xn+1-xn+2)+ 254 第30讲:数列和不等式的微积分证明 (x4n-1-x4n)(-)+(-)+(-)=-=.原创问题:已知数列an和bn满足:a1=b1,且对任意nN+,都有an+bn=1,=.()求数列an和bn的通项公式;()证明:+ln(1+n)+.解析:()由a1=b1,an+bn=1a1=b1=;又由=+1=n+1an=bn=;()由()知:=,故+ln(1+n)+ln(1+n)1+;在不等式ln(
10、1+x)x中,令x=得:ln(1+)ln(1+n)-lnn+ln(1+n)-ln11+ln(1+n)1+.例4:对数不等式lnx1).始源问题:(2010年湖北高考试题)已知函数f(x)=ax+c(a0)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1.()用a表示出b,c;()若f(x)lnx在1,+)上恒成立,求a的取值范围;()证明:1+ln(n+1)+(n1).解析:()由f(1)=0,(1)=1a+b+c=0,a-b=1b=a-1,c=1-2a;()令g(x)=f(x)-lnx=ax+1-2a-lnx,x1,),则g(1)=0,(x)=(x-1)(x-);当1,即a时,g(x)在(1
11、, )上单调递减g()g(1)=0f()ln,不合题意;当1,即a时,g(x)在1,+)上单调递增g(x)g(1)=0f(x)lnx在1,)上恒成立.故a的取值范围是,+);()由()知,当a=时,f(x)lnx(x1)lnx1);令x=,则ln(-)ln(k+1)-lnk2ln(k+1)-lnk1+2(ln2-ln1),+2(ln3-ln2),+2ln(n+1)-lnn,以上不等式相加得1+2(+)+2ln(n+1)1+ln(n+1)+(n1).原创问题:设正项数列an的前n项和Sn满足Sn=,a2=2.()求数列an的通项公式;()设数列的前n项和为Tn,证明:Tn+1-1lnan+1Tn
12、. 第30讲:数列和不等式的微积分证明 255 解析:()当n=1时,S1=a1=S1=1;当n3时,an=Sn-Sn-1=-(n-2)an=(n-1)an-1-1=-=-(-)=+(-)+(-)=2-(1-)+(-)+(-)=2-(1-)=an=n;()由lnx1);令x=,则ln(-)ln(k+1)-lnk2ln(k+1)-lnk1+2(ln2-ln1),+2(ln3-ln2),+2ln(n+1)-lnn,以上不等式相加得1+2(+)+2ln(n+1)1+ln(n+1)+(n1)1+ln(n+1)lnan+1ln(1+)ln(k+1)-lnkTn+1-1=+ln(n+1)=lnan+1Tn+1-1
