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1、第3章 极限和导数,3. 1极限 3.2关键概念:导数 3.3基本导数公式 3.4导数的几何意义与经济意义 3.5二阶导数 3.6连续、间断与导数 3.7无穷小量及与微积分的关系,返回,3.1 极限,3.1.1极限的概念与性质 1.数列的极限 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法一割圆术，就是极限思想在几何学上的应用. 数列 简记为数列 如果数列xn当n无限增大时，数列xn的取值能无限接近常数l，我们就称l是,下一页,返回,3.1 极限,它的解析定义是: 如果数列xn与常数a有下列关系:对于任意给定的正数(不
2、论它多么小)，总存在正整数N，使得对于nN时的一切xn ，不等式 都成立，则称常数a是数列xn 的极限，或者称数列xn ，收敛于a，记为 如果数列没有极限，就说数列是发散的.,上一页,下一页,返回,3.1 极限,收敛数列有下述3个性质: 性质1(极限的唯一性)数列xn不能收敛于两个不同的极限. 性质2(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界. 性质3(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 2.函数当x 时的极限 设函数f(x)当 大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式
3、|x|X的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式 ，那么常数A就叫做函数f(x)当x 时的极限，记作,上一页,下一页,返回,3.1 极限,(1)l是唯一的确定的常数. (2) x 既表示趋于+ ，也表示趋于. 如果 x 时，f(x)取值和常数l要多接近就有多接近，我们称l是f (x)当x 时的极限，记作 如果 x 时，f(x)取值和常数l要多接近就有多接近，我们称l是f (x)当x 时的极限，记作,上一页,下一页,返回,3.1 极限,显然， 存在的充分必要条件是 3.函数当x x0时的极限 满足 的x的范围称作以x0 ，为中心的邻域，满足 的的范围称作以x0为中心，以为半径的去心邻域，记作U
4、(x0 )。 现在考虑自变量x的变化过程 x x0 .如果在x x0 ，的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当x x0 时的极限.当然，这里我们首先假定函数f(x)在点x0的某个去心邻域内是有定义的.,上一页,下一页,返回,3.1 极限,它的解析定义是: 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式 那么常数A就叫做函数f(x)当x x0 ，时的极限，记作 (1)l是唯一的确定的常数. (2) x x0 ，表示从x0的左右两侧同时趋于
5、x0 (3)极限l的存在与f(x)在x0有无定义或定义的值无关.,上一页,下一页,返回,3.1 极限,4.极限的简单计算 在给定的趋势 都存在的情况下，有如下运算法则成立,上一页,下一页,返回,3.1 极限,这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用,将几种常用的方法总结一下. 1.代入法 2.分解因式，消去零因子法 3.分子(分母)有理化法 4.化无穷大为无穷小法 5.利用定理求极限 6.复合函数的极限运算,上一页,下一页,返回,3.1 极限,关于函数的极限有如下定理: 定理1(极限的局部保号性)如果 那么就存在着点x0 ，的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有 定理1 如果 ，那么就存在着
6、x0的某一去心邻域 定理2如果在x0 ，的某一去心邻域内,上一页,下一页,返回,3.1 极限,根据x x0 时函数f(x)的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明:函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即 因此，即使 都存在，但若不相等，则 不存在. 3. 1. 2两个重要极限、无穷小的比较 1.第一个重要极限:,上一页,下一页,返回,3.1 极限,注1为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型: 成立的条件是在给定的趋势下，两个(x)应该是一模一样的无穷小量. 注2第一个重要极限可以解决 型，含三角函数的未定式. 2.第二个重要极限
7、:,上一页,下一页,返回,3.1 极限,注1上述三种形式也可统一为模型 成立的条件是在给定趋势下，两个(x)是一模一样的无穷小量. 注2第二个重要极限解决的对象是1 型未定式. 3.无穷小的比较,上一页,下一页,返回,3.1 极限,当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义:,上一页,下一页,返回,3.1 极限,4.函数的连续与间断 (1)函数的连续性. 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
8、 (2)函数的间断点. 设函数f(x)在点x0 的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一,上一页,下一页,返回,3.1 极限,1)在x=x0没有定义; 2)虽在x=x0有定义，但 不存在; 3)虽在x=x0有定义, 则函数f(x)在点x0为不连续，而x0成为f(x)的不连续点或间断点 就一般情况而言，通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限 及右极限 都存在，那么x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然
9、是第二类间断点. (3)连续函数的运算.,上一页,下一页,返回,3.1 极限,由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可得出下列定理. 定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数. 定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数. 定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零. 定理4如果函数y=f(x)在区间 单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数 也在对应区间 上单调增加(或单调减少)且连续.,上一页,下一页,返回,3.1 极限,定理5设函数 时的极限存在且等于a 而函数 在点u=a连续，那么复合函数 时的极限也存在且
10、等于f(a)，即 总之，一切初等函数在其定义域内都是连续的. (4)闭区间上连续函数的性质. 在闭区间上的连续函数具有下述性质: 定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值. 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,上一页,下一页,返回,3.1 极限,定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间 上连续，且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a ,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点 定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b) =B，那么，对于A与B之间的任意一个数C
11、，在开区间(a ,b)内至少有一点，使得 . 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,上一页,返回,3 .2关键概念:导数,3. 2.1 如何求瞬时速度 物体在时间t时的瞬时速度是当包含t的时间段不断缩小时，由取该时间段上的平均速度无限趋于一定值得到的. 适合于求一般运动的瞬时速度.设s=s(t)，求t0时刻瞬时速度 即,下一页,返回,3 .2关键概念:导数,3. 2. 2导数的定义 用极限运算符号可表示瞬时变化，如上述例子 的瞬时速度为 瞬时速度可用极限运算符号表示为 类似于瞬时速度的有温度变化率、气压变化率、电流变化率、股价变化率、人口增长变化率等.求变化率都可
12、用求瞬时速度的方法，考虑越来越小区间上的平均变化率的极限.,上一页,下一页,返回,3 .2关键概念:导数,定义3. 1设函数以y=f( x )在点x0及其附近有定义，当在点x0处的y与 x之比的极限存在，即 存在，则称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数.记作,上一页,下一页,返回,3 .2关键概念:导数,导数是一种高等数学运算，导数的一般意义为变化率，即需要记住:函数在某一点的导数就是它在该点的变化率. 3. 2. 3对符号dy/dx的直观理解 导数符号y简洁明了， dy/dx 也具有启发性，尤其是当你把dy/dx中的字母d看做是表示“的微小量”。直观地可以把dy/dx看成是y的微小量除以
13、x的微小量。 3. 2. 4由导数的单位理解导数 例3. 5一块凉的甘薯被放进热烤箱，其温度 ，其中t(单位:s)从甘薯放进烤箱开始计时.,上一页,下一页,返回,3 .2关键概念:导数,3. 2. 5 导数概念的直观表示 导数定量刻画了事物变化的瞬间变化率，即瞬间的快慢情形.对平均速度好理解一些，对瞬间速度理解困难.为了帮助理解，可以找到一个导数概念的直观表示:汽车车速表可以称为“导数显示计”.如果f(t)是汽车的位置函数，那么导数 就是该位置的变化率，正好就是速率.开车的瞬间，车子未动，车速为。千米/小时;然后车子启动、加速，直到110千米/小时等，车速表反映汽车每个瞬间的速度变化率:瞬间速
14、度. 如此，可以明白导数的概念：函数y=f(x)的导数 ，度量了该函数的变化率.,上一页,下一页,返回,3 .2关键概念:导数,如果导数是一个很大的正值，表示该函数正在急速递增;如果导数是一个较小的正值，表示函数也在递增，只是递增得较缓慢;若导数是负值，表示函数在递减(减速). 那么在工程技术中车速表又是如何设计、如何反映车速的呢?是用传感器将转轴转动通过电子感应变成波形进行计算，最后也是在很小的时间段“计算”出平均速度一导数的近似计算.也说明，工程技术中不可能完全理论化，如完全反映瞬间速度的精确值，而是“近似计算”，根据需要满足一定的误差限即可.,上一页,返回,3 .3基本导数公式,可证明有
15、一般公式:对于幂函数 由导数的定义可以证明函数和的导数公式法则: 都是x的可导函数，则,上一页,返回,3. 4导数的几何意义与经济意义,导数是一个十分重要的数学模型.它虽然由瞬时速度引入，但它的意义远远超出了数学的范围，而渗透到科学技术的各个领域(见表3. 2). 其他还有如放射性物质的衰变率、生物种群的生长率与死亡率、冷却过程的温度变化率、战争中物资和人员的损耗率、国家企业的财富增长率等，数学上都表示为函数的变化率，都可用导数模型来研究. 3. 4.1导数的几何意义 如图3.4所示，在 割线AB的斜率为tan, 相应的B点沿曲线向A点运动并最终与A重合，割线成了切线(T)。,下一页,返回,3. 4导数的几何意义与经济意义,因此在x点的导数 的几何意义为曲线f(x)在x点切线的斜率， 3. 4. 2导数的经济意义 微积分是17世纪最重要的数学发明，1665 1676年，牛顿、莱布尼兹等人研究创立了微积分，他们分别研究了导数的物理意义(如研究瞬时速度)与几何意义.令人意想不到的是历史进入20世纪，人们又发现了导数的经济意义.,上一页,下一页,返回,3. 4导数的几何意义与经济意义,定义3. 2若函数f(x)在x处可导
