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1、3实数与向量的积一、基础知识：（一）、实数与向量的积实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。实数与向量积的运算律：（）结合律：；（）分配律：；。（以上3向量共线定理：如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使。（二）、平面向量的基本定理定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使成立，这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。二、基本题型：1已知，则在以下各命题中，正确的命题共有 个。，时，与的
2、方向一定相同；，时，与是共线向量；，时，与的方向一定相同；，时，与的方向一定相反。2已知、是一对不共线的非零向量，若 ，且、共线，则 。3已知向量、，且， ，则一定共线的三点的序号是 A、B、D；A、B、C ；B、C、D A、C、D。4已知、是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的序号是 。和；和；和；和。5已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则P与的关系正确的序号是 。P在的内部；P在的外部；P在所在直线上；P是的一个三等分点。6已知点G是的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若，则 。7在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中
3、点，或，其中，则_。. 8如图所示，以向量，为边作平行四边形， ，用，表示、。 9设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点，设，求证：。 10如图，已知梯形ABCD中，、分别是、边上的中点，且，设，以、为基底表示、。 11设，是两个不共线的向量，已知=2+， =+3，=2-，若A、 B、D三点共线，求的值。12设、不共线，点在上。求证：且，、。3数与向量的积一、基础知识：（一）、实数与向量的积实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。实数与向量积的运算律：（）结合律：；（）分配律：；。（以上3向
4、量共线定理：如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使。（二）、平面向量的基本定理定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使成立，这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。平面向量的基本定理陈述了这样一个事实，即：如果已知平面内两个不共线的向量，那么对平面内任一向量都可找到唯一的实数对，把这一向量分角。这与物理中力的分解有共同之处，我们可以通过类比的办法加以理解，另外注意这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个向量都可以。二、基本题型：1已知，则在以下各命题中，正确的命题共有 个。（5）
5、，时，与的方向一定相同；，时，与是共线向量；，时，与的方向一定相同；，时，与的方向一定相反。2已知、是一对不共线的非零向量，若 ，且、共线，则 。3已知向量、，且， ，则一定共线的三点的序号是 （ ）A、B、D；A、B、C ；B、C、D A、C、D。4已知、是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的序号是 。（ ）和；和；和；和。5已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则P与的关系正确的序号是 。（）P在的内部；P在的外部；P在所在直线上；P是的一个三等分点。6已知点G是的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若，则 。7在平行四边形ABCD中，E
6、和F分别是边CD和BC的中点，或，其中，则_。. 4/3解：设、则 , ,代入条件得8如图所示，以向量，为边作平行四边形， ，用，表示、。（，）9设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点，设，求证：。证明：如图，设， ，从而。10如图，已知梯形ABCD中，、分别是、边上的中点，且，设，以、为基底表示、。（；）11设，是两个不共线的向量，已知=2+， =+3，=2-，若A、 B、D三点共线，求的值。解：-=（+3）-（2-）=4-，A、 B、D三点共线，存在实数，使得=。2+=（4-）。故。=-8。12设、不共线，点在上。求证：且，、。证明：点在上，与共线，从而。令，。且，、。财务盈利能力分析采用的主要评价指标包括静态评价指标和动态评价指标两类。其中静态评价指标主要有投资回收期，投资利润率，投资利税率和资本金利润率；动态评价指标主要有投资回收期，净现值、净现值率，内部收益率。7
