受迫振动与共振

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1、11.3,受迫振动与共振,11.3.1 受迫振动的动力学方程,现象：受迫振动是外力使振动系统保持持续振动的一类振动。,原因：振动过程中始终有外力作用并对系统做功，是外界与系统有能量交换,动力学分析：,上式是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程,由微分方程理论：,通解= 齐次方程的解+非齐次的一个特解,强迫力：,阻尼力：,受迫振动的运动学规律,其解为：,经过足够长的时间，称为定态解：,该等幅振动的频率就是强迫力的频率,稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：,较小,若 很小， 很大,讨论,1 稳定后受迫振动为等幅振动，其频率与 强迫力的频率相同。,2 受迫振动的振幅 与初始条件 无关，只与

2、有关，可以通过调整 驱动力的频率来控制振子的振幅 。,求振幅对频率的极值,共振的角频率,11.3.2 共振,得出振幅有极大值：,可见，系统的共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关。,当驱动力的角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象 ，称为共振。振幅达到最大值时的角频率称为共振角频率 。,得共振时的初相位,当 时，在弱阻尼情况下，,共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。,共振的振幅,将 代入得共振振幅 峰值为,将 代入,受迫振动相位落后于强迫力相位 ，即振动速度与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对速度的增大有最大的效率是振动振幅急剧增大的原因。,随着振幅的增大，

3、阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时，能量转变为共振质点的能量，也叫共振吸收。,1 振动振幅急剧增大的原因,讨论,2 共振现象,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,Tacoma大桥中文名叫塔科马大桥，位于美国华盛顿州。通过两年时间的施工，于1940年7月1日建成通车。该桥主跨长853.4m，全长1810.56m，桥宽11.9m，而梁高仅1.3m。位居世界第三。1940年11月7日，因风振致毁。,中文名：塔科马海峡大桥 英文名：Tacoma Narrows Bridge 塔科马海峡大桥位于美国华盛顿州的塔科马海峡。第一座塔科马海峡大桥，绰号舞动的格蒂，

4、于1940年7月1日通车，四个月后戏剧性地被微风摧毁，这一幕正好被一支摄影队拍摄了下来，该桥因此声名大噪。 1950年利用旧桥墩改建新桥，主跨不变,钢塔架高140.82米，桥面宽增至18米，加劲桁梁高增至10米。 重建的大桥于1950年通车，被称为：强壮的格蒂； 2007年，新的平行桥通车。,曾经的塔科马海峡大桥,昵称：舞动的格蒂（Galloping Gertie） 桥梁形式：悬索桥 主跨：2800英尺（853米） 全长：5000英尺（1524米） 通航净空：195英尺（59.4米） 通车日期：1940年7月1日 坍塌日期：1940年11月7日 只通车4个多月就没了,修建 人们希望在这里建桥的

5、愿望可以追溯到1889年为北太平洋铁路建造栈桥的提议，但20世纪20年代人们才达成一致意见。1923年，塔科马商业总会开始竞选活动并发行债券。一些著名桥梁的工程师，包括金门大桥的总工程师约瑟夫斯特劳斯（Joseph Strauss）和麦金纳大桥的建造者大卫斯坦曼（David Steinman）被召集商量桥梁的建造方案。斯坦曼提出的几项商会基金方案1929年得到通过，但在1931年议会决定取消协议，理由是斯坦曼在筹集资金方面“不够积极”。此外还有一个问题是筹集的资金还要用来买断一家私营渡轮公司在塔科马海峡的渡河业务独家经营权。,塔科马海峡大桥的建造计划最终还是在1937年得以继续，华盛顿州立法机

6、关制定了华盛顿州的桥梁税并拨款5000美元研究塔科马市和皮尔斯县对塔科马海峡建桥的需求。 从一开始，资金问题就是最大的问题，拨款并不足以支付建桥成本。但是大桥的建设却得到了美国军方的大力支持，大桥的建成将大大方便海军在布雷默顿的造船厂和陆军在塔科马的军事基地的交通。 华盛顿州的工程师克拉克艾尔德里奇（Clark Eldridge）提出一个初步计划，桥梁必须通过严格的实验并使用常规设计，资金则由联邦政府公共工程管理处（PWA）拨款一千一百万美元。但是来自纽约的工程师莱昂莫伊塞夫（Leon Moisseiff）上书联邦政府公共工程管理处，认为他可以花更少的钱建桥。,原先的建设规划要求将25英尺深（

7、7.6米）的钢梁打入下方的路面使之硬化。莫伊塞夫著名的金门大桥的受尊敬的设计师和顾问工程师，建议采用8英尺（2.4米）深的浅支持梁。他的方案使钢梁变窄，并且使大桥更优雅，更具观赏性，同时也降低到建造成本。最终莫伊塞夫的设计方案胜出。1938年6月23日，联邦政府公共工程管理处批准了600多万美元的拨款用来建造塔科马海峡大桥。另外160万美元将通过收税筹集，最终的建造成本为800万美元。 使用浅支撑梁的决定最终在不久的将来被证明是造成桥梁坍塌的重要原因。8英尺（2.42米）的支撑梁并不足以使路基拥有足够的刚度，从而使大桥经不住风的侵袭。从一开始，大桥的振动就使之声名狼藉。轻度至中度的风就可以导致

8、大桥来回摇摆，中心的摆动可达每4到5秒几英尺。因此大桥被当地居民起绰号叫“舞动的格蒂”。司机在桥上行驶可以明显感觉到桥的摆动。,坍塌 大桥被风吹垮发生于美国太平洋时间1940年11月7日上午11时，原因是机械共振。 里奥纳德科茨沃斯（Leonard Coatsworth）在桥梁坍塌事故发生时成功地逃离，以下是他的报告：“当我刚驾车驶过塔桥时，大桥开始来回剧烈晃动。当我意识到时，大桥已经严重倾斜，我失去了对车的控制。此时我马上刹车并弃车逃离。我耳边充斥着混凝土撕裂的声音。而汽车在路面上来回滑动。大部分的时候我靠手和膝盖爬行，我爬到500码（450米）外的大桥塔楼我呼吸急促，膝盖都磨破流血了，双手

9、上满是瘀伤。最后我使出最后的力气跳到了安全地带，在收费口回头望去，我看到大桥彻底被摧毁的一幕，我的车也随着大桥一起坠入了海峡。” 幸运的是在大桥坍塌事故中没有人失去生命。世界著名空气动力学家，古根海姆航空实验室主任西奥多冯卡曼（Theodore von Krmn）是事故调查组成员，他在报告中指出：华盛顿州没有为大桥筹集到足够的钱，因为代理商以欺诈手段贪污了部分款项。代理商哈雷特法兰奇（Hallett French）以盗窃罪被指控。 1940年11月28日，美国海军水文办公室报告说，大桥残骸位于北纬47 16，西经122 33，水深180英尺（55米）处。,视频 大桥最终被摧毁的画面被当地照相馆

10、的老板巴尼埃利奥特（Barney Elliott）拍摄了下来。1998年，塔科马海峡大桥的坍塌视频被美国国会图书馆选定保存在美国国家电影登记处，这段震撼人心的视频被誉为“在文化、历史和审美学方面有着重要意义”。这段珍贵的电影胶片目前仍然对学习工程学、建筑学和物理学的学生起着警示的作用。,坍塌原因 大桥由坚硬的碳钢和混凝土建成的。原先的设计是在路基下使用格状桁架梁。这将是第一座以板状钢梁作为支撑的大桥。按照原先的设计，风只会直接通过桁架，但新的设计将风转移到了桥面上下两端。大桥在1940年6月底建成后不久（通车于1940年7月1日），人们就发现大桥在微风的吹拂下会出现晃动甚至扭曲变形的情况。这种

11、共振是横向的，沿着桥面的扭曲，桥面的一端上升，另一端下降。司机在桥上驾车时可以见到另一端的汽车随着桥面的扭动一会儿消失一会儿又出现的奇观。因为这种现象的存在，当地人幽默地将大桥称为“舞动的格蒂”。然而，人们仍然认为桥梁的结构强度足以支撑大桥。,大桥的倒塌发生在一个此前从未见过的扭曲形式发生后，当时的风速大约为每小时40英里。这就是力学上的扭转变形，中心不动，两边因有扭矩而扭曲，并不断振动。这种振动是由于空气弹性颤振引起的。颤振的出现使风对桥的影响越来越大，最终桥梁结构像麻花一样彻底扭曲了。在塔科马海峡大桥坍塌事件中，风能最终战胜了钢的挠曲变形，使钢梁发生断裂。拉起大桥的钢缆断裂后使桥面受到的支

12、持力减小并加重了桥面的重量。随着越来越多的钢缆断裂，最终桥面承受不住重量而彻底倒塌了。 塔科马海峡大桥的坍塌使得空气动力学和共振实验成为了建筑工程学的必修课。这里的共振和受迫共振（由周期运动引发的，如步伐整齐的一队士兵渡桥）不同。在该案例中没有周期性扰动。当时风速稳定在每小时42英里（67公里/小时），频率0.2赫兹。这样的风速本应对大桥够不成威胁。因此此次事件只能被理解为空气动力学和结构分析不严密所致，以后所有的桥梁，无论是整体还是局部，都必须通过严格的数学分析和风洞测试。 1943年，纽约市一座类似的大桥白石大桥，加装了一个14英尺的华伦式桁架和倾斜支柱以减少桥面的振动。2001年，华伦式

13、桁架被拆除，取而代之的是液压阻尼器。,残骸的保护 沉没的大桥残骸编号92001068，被登记在国家历史地点记录册中。水下的残骸现在已经作为一座人工礁石被保护起来。,今天的塔科马海峡大桥,公路：华盛顿州16号干线 地点：塔科马海峡（Tacoma Narrows） 连接：塔科马（Tacoma）至吉格港（Gig Harbor） 昵称：强健的格蒂（Sturdy Gertie） 桥梁形式：双悬索桥 主跨：2800英尺（853米） 全长：5979英尺（1822米） 通航净空：187.5英尺（ 57.15米） 通车日期：1950年10月14日（西行）；2007年7月15日（东行） 收费：3美元（东行）,塔科

14、马海峡大桥位于美国华盛顿州的塔科马海峡。第一座塔科马海峡大桥，绰号舞动的格蒂，于1940年7月1日通车，四个月后戏剧性地被微风摧毁，这一幕正好被一支摄影队拍摄了下来，该桥因此声名大噪。重建的大桥于1950年通车，2007年，新的平行桥通车。,西行桥 现在的西行桥以开放的桁架和加固的支柱设计并重建，并且开设通风孔让风通过。它于1950年10月14日通车，全长5979英尺（1822米）比原先的桥长40英尺（12米）。它和与之平行的东行桥共同组成了目前美国第五长的悬索桥。因为造成前桥坍塌的共振问题已经被新设计所解决，所以当地居民给予了大桥新的绰号“强健的格蒂”。当西行桥刚造好时，它是世界第三大悬索桥。像其它现代悬索桥一样，西行桥由尖锐的钢板而不是原先平边钢板建成。大桥的设计日车流量为6万辆次。建成后，它东西两向同时通车，直到东行桥于2007年7月15日正式通车,东行桥 1998年，华盛顿州几个县的选民通过了一项议案，决定建造一座新的大桥。2007新的大桥将是一座东行桥，与原先的大桥平行，2002年10月4日开工，2007年7月竣工，建成后，原先的大桥将只作为西行桥使用。华盛顿州交通部收取每车次3美元过桥费以收回建造成本。而原先的西行桥从1965年起就免收过桥费，未来也将如此。新的大桥也第一次安装了新型“Good To Go”电子收费系统。,