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1、第3节 空间图形的基本关系与公理,最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,1.空间图形的公理与定理 (1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (2)公理2：经过_的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面). (3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.,知 识 梳 理,两点,不在同一条直线上,一个,(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. (5)公理2的三个推论 推论
2、1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. (6)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_.,相等或互补,2.空间点、直线、平面之间的位置关系,3.异面直线所成的角 (1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角.,常用结论与微点提醒 1.空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补. 2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线
3、. 3.唯一性的几个结论： (1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( ) (4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.( ),诊 断 自 测,解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误. (3)如果两个平
4、面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( ),A.30 B.45 C.60 D.90,解析 连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60. 答案 C,3.(2018南昌月考)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是( ) A.垂
5、直 B.相交 C.异面 D.平行 解析 依题意，mA，n，m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案 D,4.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( ),解析 法一 对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项不正确.,图(1) 图(2),法二 对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接
6、OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行. 答案 A,5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.,解析 EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个. 答案 4,考点一 空间图形的公理及应用 【例1】 (1)(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共
7、点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件. 答案 A,证明：四边形BCHG是平行四边形； C，D，F，E四点是否共面？为什么？,四边形BCHG为平行四边形.,四边形BEFG为平行四边形，EFBG. 由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面. 又DFH，C，D，F，E四点共面.,规律方法 1.证明线共面或点共面的常用方法 (1)直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面. (2)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平
8、面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合. 2.证明点共线问题的常用方法 (1)公理法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.,【训练1】 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：,(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点.,证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点， EFA1B. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F四点共面.,(2)EFCD1，EFCD1
9、， CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.,考点二 判断空间两直线的位置关系 【例2】 (1)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) 若直线m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线； 若直线m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线； 已知平面，互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m，则n； 若直线m，n在平面内的射影互相垂直，则mn. A. B. C. D.,(2)(2018唐山一中月考)如图
10、，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).,解析 (1)对于，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，错误； 对于，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故正确； 对于，还有可能n或n与相交，错误； 对于，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面，则m与n在内的射影分别为AB与BC，且ABBC.而m与n所成的角为60，故错误.,(2)图中，直线GHMN； 图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面； 图中，连接MG，GMHN， 因此GH与MN共面； 图中
11、，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN， 因此GH与MN异面. 所以在图中，GH与MN异面. 答案 (1)A (2),规律方法 1.异面直线的判定方法： (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.,【训练2】 (1)(2018汉中一模)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面平行，则这
12、两条直线平行 B.若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行,(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是( ),A.相交但不垂直 B.异面 C.相交且垂直 D.平行,解析 (1)A选项，两条直线可能平行，可能异面，也可能相交；B选项，一直线可以与两垂直平面所成的角都是45；易知C正确；D中的两平面也可能相交. (2)连接D1E并延长，与AD交于点M，因为A1E2ED，可得M为AD的中
13、点，,答案 (1)C (2)D,解析 将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD. 由题意知ABC120，AB2，BCCC11，,又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，,答案 C,规律方法 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤 (1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角. (2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,解析 取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，易知BDB1E. 在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.,
