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1、第5节 垂直关系,最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.,1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的_一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.,知 识 梳 理,任何,(2)判定定理与性质定理,两条相交直线,l,lb,b,b,平行,2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的_所成的_叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角. (2
2、)范围：_.,射影,直角,锐角,3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角； (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范围：0，. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(2)判定定理与性质定理,垂线,交线,l,l,l,l,常用结论与微点提醒 1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于
3、这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.,3.线线、线面、面面垂直间的转化,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ),诊 断 自 测,解析 (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误. (2)垂直于同
4、一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(教材习题改编)下列命题中不正确的是( ) A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面 B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面平面，平面平面，l，那么l 解析 根据面面垂直的性质，A不正确，直线l平面或l 或直
5、线l与相交. 答案 A,3.(2018湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是( ) A.且m B.mn且n C.mn且n D.mn且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确. 答案 C,4.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,解析 如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1. 又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1
6、CD，所以A1EBC1. 答案 C,5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为_.,解析 如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO， 则AOC是二面角ABDC的平面角， 即AOC90.,答案 a,考点一 线面垂直的判定与性质 【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明： (1)CDAE； (2)PD平面ABE.,证明 (1)在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD， 又ACCD，且PAACA， CD平面PAC.又AE平面PAC， CDAE.,(2)由PAA
7、BBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD.又PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，AB 平面ABCD，PAAB. 又ABAD，且PAADA， AB平面PAD，又PD 平面PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE.,规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质(，a，la，ll). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明
8、线面垂直的基本思想.,证明 因为AB为圆O的直径，所以ACCB.,由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303， 所以CD2DB2BC2，即CDAB. 因为PD平面ABC，CD 平面ABC， 所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB， 又PA平面PAB，所以PACD.,考点二 面面垂直的判定与性质 【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.,证明 (1)平面PAD底面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交
9、线AD，PA平面PAD， PA底面ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点， ABDE，且ABDE. 四边形ABED为平行四边形. BEAD. 又BE平面PAD，AD平面PAD， BE平面PAD.,(3)ABAD，而且ABED为平行四边形. BECD，ADCD， 由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD， CD平面PAD，又PD平面PAD， CDPD. E和F分别是CD和PC的中点，PDEF. CDEF，又BECD且EFBEE， CD平面BEF，又CD平面PCD， 平面BEF平面PCD.,规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：
10、(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理. 2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,【训练2】 (2017北京卷)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PABD；,(2)求证：平面BDE平面PAC； (3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.,(1)证明 PAAB，PABC， AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB， PA平面ABC，又BD平面ABC，PABD. (2)证明 ABBC，D是AC的中点， BDAC
11、. 由(1)知PA平面ABC，PA平面PAC， 平面PAC平面ABC. 平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC， BD平面PAC. BD平面BDE，平面BDE平面PAC，,(3)解 PA平面BDE， 又平面BDE平面PACDE，PA平面PAC， PADE. 由(1)知PA平面ABC，DE平面ABC. D是AC的中点，E为PC的中点，,考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度1 多面体中平行与垂直关系的证明 【例31】 (2017山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中
12、点，A1E平面ABCD.,(1)证明：A1O平面B1CD1； (2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.,证明 (1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1， 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1OC，A1O1OC， 因此四边形A1OCO1为平行四边形， 所以A1OO1C， 又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1， 所以A1O平面B1CD1.,(2)因为ACBD，E，M分别为AD和OD的中点， 所以EMBD， 又A1E平面ABCD，BD平面ABCD， 所以A1EBD， 因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1， 又A1E，EM平面A1EM，A
13、1EEME， 所以B1D1平面A1EM， 又B1D1平面B1CD1， 所以平面A1EM平面B1CD1.,规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.,命题角度2 平行垂直中探索性问题 【例32】 如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点. (1)证明：AE平面BDF.,(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.,(1)证明 连接AC交BD于O，连接OF，如图
14、. 四边形ABCD是矩形，O为AC的中点， 又F为EC的中点， OF为ACE的中位线， OFAE， 又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.,(2)解 当P为AE中点时，有PMBE， 证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH. P为AE的中点，H为BE的中点， PHAB， 又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面.,平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC. CD平面BCE， 又BE平面BCE，CDBE， BCCE，H为BE的中点，CHBE， 又CDCHC，BE平面DPHC， 又PM平面DPHC， BEPM，即PMBE.,规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.,命题角度3 空间位置关系与几何体的度量计算 【例33】 (2017天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成
