《2019版高考数学一轮复习 第十章 算法初步 第4讲 第1课时 不等式的证明配套理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习 第十章 算法初步 第4讲 第1课时 不等式的证明配套理（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲 第1课时,不等式选讲 不等式的证明,1.常用的证明不等式的方法,(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法.,(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数 与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等 式.,(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发， 分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定 这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都 已具备，那么就可以断定原不等式成立.,(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 AB，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定 AB.凡涉及的证明不等式为否定命题
2、、唯一性命题或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，都可以考虑用 反证法.,(5)放缩法：要证明不等式 AB 成立，借助一个或多个中间,变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法.,2.绝对值不等式,(1)含绝对值不等式的解法：,设 a0，|f(x)|af(x)a. (2)理解绝对值的几何意义： |a|b|ab|a|b|.,A,2.已知 x，yR，满足 x22xy4y26，则 zx24y2 的最,小值为_.,4,的最大值为_.,考点 1,比较法证明不等式,例 1：已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.,证明：2a3b3(2ab2a2b) (2a32ab2)(a2bb3)
3、2a(a2b2)b(a2b2) (a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)， 又ab0，ab0，ab0,2ab0. (ab)(ab)(2ab)0. 2a3b3(2ab2a2b)0. 2a3b32ab2a2b.,【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为：,作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全平方,式或常数的形式；,判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论； 得出结论.,例 2：已知正数 a，b，求证：aabbabba.,思路点拨：根据同底数幂的运算法则，可考虑作商比较法.,【规律方法】(1)由于所证不等式对于 a，b 具有轮换对称 性，故不妨设 ab0，这样处理既不影响结果，又
4、可避免后面 的讨论，尤其是有三个或三个以上的字母，分类讨论不太可能， 这种方法显得更加便利.,(2)比较法的关键是第二步的变形，一般说来，变形越彻底，,对下一步的判断就越有利.,考点 2,综合法证明不等式,例 3：(2017 年新课标)已知 a0，b0，a3b32. 证明：(1) (ab)(a5b5)4； (2)ab2.,证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a2b2)24. 当且仅当ab1时，等号成立.,(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3,23ab(ab)2,3(ab)2 4,(ab)2,3(ab)3 4,.,所以(
5、ab)38，因此 ab2. 当且仅当 ab1 时，等号成立. 【规律方法】综合法：利用某些已经证明过的不等式和不 等式的性质时要注意它们各自成立的条件.综合法证明不等式 的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件 A 出发， 逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B.,【互动探究】,1.(2017 年江苏)已知 a，b，c，d 为实数，且 a2b24，c2,d216，证明：acbd8. 证明：由柯西不等式可得：,2.(2017 年广东调研)已知函数 f(x)|2x1|.,考点 3,分析法证明不等式,例 4：(2017 年广东广州二模)(1)已知 abc1，,(2)若对任意实数
6、x，不等式|xa|2x1|2 恒成立，求 实数 a 的取值范围. (1)证明：因为 abc1， 所以(a1)2(b1)2(c1)2 a2b2c22(abc)3a2b2c25.,于“f( x)min2”.,(2)解：设 f(x)|xa|2x1|， 则“对任意实数 x，不等式|xa|2x1|2 恒成立”等价,【规律方法】分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所 证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使 不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从 何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简 单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.,用分析法论证“若 A，则 B
7、”这个命题的模式是：欲证命 题 B 为真，只需证明命题 B1 为真，从而又只需证明命题 B2 为 真，从而又只需证明命题 A 为真，今已知A 真，故 B 必真. 简写为：BB1B2BnA.,【互动探究】,证明：要证的不等式，即为,即证 1cos cos sin sin 2cos cos ， 只需证 1cos()， ，结论显然成立. 故原不等式成立.,考点 4,反证法证明不等式,易错、易混、易漏 放缩法证明不等式中正确把握放缩的度,【失误与防范】(1)在利用放缩法解题时，一定要注意经过 放缩后的结果要尽量接近结论并且有利于运算； (2)在利用放缩法解题时，一定要注意“放缩”都应适度， 放得过大或缩得过小都达不到预想的效果，如在解本题时， 我们是第一、二项没变，从第三项起开始变形，恰好得到,想，如果从第四项开始变形，我们会得到什么结论？是否比原 结论更精确？为什么？,
