《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.3 幂函数新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.3 幂函数新人教b版必修1（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 幂函数,一,二,一、幂函数的定义 【问题思考】 1.请说出函数y=2x与y=x2的自变量的特征,y=x2是指数函数吗? 提示:函数y=2x是前面刚学过的指数函数,自变量x为指数幂的指数.而函数y=x2中自变量x为指数幂的底数.y=x2不是指数函数,而是本节课将要学习的幂函数. 2.一次函数和二次函数都是幂函数吗? 提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.一次函数中的y=x与二次函数中的y=x2才是本节课研究的结构形式,能称为幂函数. 3.填空. 一般地,形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中为常数.,一,二,二、函数y=x,y=x2,y
2、=x3, ,y=x-1的图象与性质 【问题思考】 1.在同一坐标系内作出上述五种函数的图象. 回答以下问题: (1)仅考虑第一象限内的图象,这五个函数的图象都过哪个定点? 提示:点(1,1). (2)函数y=x,y=x2,y=x3, 图象所过公共点是哪个? 提示:点(0,0),点(1,1). (3)这五个函数的图象均不过哪个象限?你能发现更一般的结论吗? 提示:上述五个函数的图象均不过第四象限,一般地,对幂函数y=x而言,当x0时,必有y0,故幂函数的图象不过第四象限.,一,二,2.(1)在幂函数y=x中,如果是正偶数(=2n,n为非零自然数),如=2,4,6,这一类函数具有哪些重要性质? 提
3、示:重要性质:定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;函数在(-,0上为减函数,在0,+)内为增函数. (2)在幂函数y=x中,如果是正奇数(=2n-1,n为非零自然数),如=1,3,5,这一类函数具有哪些重要性质? 提示:重要性质:定义域、值域为R,图象都过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;函数在R上是增函数. (3)幂函数y=x,x0,+),1与01还是01,函数y=x在0,+)内都是增函数,但在0,1内前者比后者增得慢,在(1,+)上前者比后者增得快.,一,二,3.填写下表:
4、,一,二,一,二,4.做一做:已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+)上的增函数,则m的值为 . 解析:由题意知m2-m-1=1, m2-m-2=0, m=2或m=-1. 当m=2时,f(x)=x-13,不符合题意,故舍去; 当m=-1时,f(x)=x2,适合题意,故m的值为-1. 答案:-1,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)二次函数都是幂函数. ( ) (2)幂函数的图象均过点(1,1). ( ) (3)函数y=x与y=x+1均为幂函数. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨
5、析,幂函数的概念,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析:(1)设幂函数的解析式为y=x,则 , =-2.y=x-2. (2)的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此是幂函数;中x2的系数为2,因此不是幂函数;是由幂函数相加而成的函数,因此不是幂函数;不符合幂函数中x前的系数为1,因此不是幂函数. 答案:(1)B (2),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.幂函数的判断方法 (1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=x(R)的函数才是幂函数. (2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行
6、化简整理,再对照幂函数的定义进行判断. 2.待定系数法求幂函数解析式的方法 若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=x,根据条件求出.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(2)y=x3在R上是增函数,-1.2-1.25, (-1.2)3(-1.25)3. (3)y=x-1在(0,+)内是减函数,5.255.26-1. y=5.26x在R上是增函数,-1-2. 5.26-15.26-2. 综上,5.25-15.26-15.26-2. (4)01,log30.50, log30.50.5330.5.,探究一,探究二,探究三,探
7、究四,思维辨析,反思感悟比较幂形式的两个数大小的常用方法: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性. (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性. (3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是 ( ) A.0.761,00.761,log0.760, 所以log0.760.7660.7.故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,幂函数的图象 【例3】 如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则( ) A.n1 B.nn
8、1 D.nm1 解析:由幂函数的图象及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m0,n0.又由y=xm的图象与直线y=x比较,得0m1. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟画图象时,一般先画第一象限内的图象,再结合函数性质补全图象,幂函数的图象与幂指数间有如下规律: (1)指数大于1,在第一象限的图象,类似于y=x2的图象; (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线; (3)指数大于0小于1,在第一象限的图象,类似于 的图象; (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线; (5)指数小于0,在第一象限类似于y=x-1的图
9、象.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,幂函数性质的综合应用 【例4】已知幂函数 (mZ)是偶函数,且在(0,+)内是减函数,求函数f(x)的解析式. 分析:先利用f(x)在(0,+)内为减函数求出m的取值范围,再用代入检验的方法来验证是否为偶函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.本题要先充分利用函数为减函数的性质,这正是此问题的切入点,如果先选用偶函数这一性质,将不能准确快速地得出m的值. 2.对于与幂函数有关的综合性问题,一般涉及奇偶性与单调性问题,解决此类问题可分两步走:一
10、是利用单调性来弄清指数的正负,二是利用奇偶性来确定幂函数的图象.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,将本例中“ (mZ)是偶函数,且在(0,+)内是减函数”改为“f(x)=x3m-9(mN+)的图象关于y轴对称,且在(0,+)内的函数值随x的增大而减小”,试求f(x). 解:函数f(x)=x3m-9在(0,+)内是减函数, 3m-90,即m3. 又mN+,m=1或m=2. 又函数图象关于y轴对称, 3m-9为偶数,故m=1. f(x)=x-6.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因对幂函数的单调区间不明确而致误,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,
11、探究四,思维辨析,防范措施通过本题解答,我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象,且还要强化对函数的单调性是针对某一确定区间而言的这一认识,不能随便取并集.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,y=xn在(-,0)内为减函数. 又n-2,-1,0,1,2,3, n=-1或n=2. 答案:-1或2,1.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调增区间是( ) A.(2,+) B.0,+) C.(-,+) D.(-,0) 解析:设f(x)=x(为常数),由2=4,得=2, 所以f(x)=x2.故其单调增区间为0,+). 答案:B 2.下列命题中,正确的是( ) A.当=0时,函数y=x的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1) C.若幂函数y=x(为常数)是奇函数,则y=x是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案:D,3.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( ),答案:B,4.若幂函数 的图象不过原点,则m的值为 . 解析:由m2+3m-17=1,解得m=3或m=-6, 当m=3时,指数4m-m20,不合题意, 当m=-6时,指数4m-m21.30=1, 0.71.30. 答案:(0,+),
