《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系新人教b版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系新人教b版必修1（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3 指数函数与对数函数的关系,一,二,一、反函数的概念 【问题思考】 1.(1)已知一次函数y=2x-1,你能从方程的角度把x用y表示出来吗?,一,二,2.填空. (1)构成反函数的前提:函数f(x)是一一映射. (2)反函数的定义 把函数f(x)的因变量作为新的函数的自变量,而把函数f(x)的自变量作为新的函数的因变量,我们就称这两个函数互为反函数. (3)反函数的记法 函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.,一,二,二、指数函数与对数函数的关系 【问题思考】 1.函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的解析式有何内在联系? 提示:根据对数式与
2、指数式的互化可知y=ax可化为对数式“x=logay”,再将等式“x=logay”中的x,y互换,也就形成了对数函数y=logax,从这一内在联系可以看出y=ax与y=logax的定义域和值域是互换的. 2.函数y=ax(a0,且a1)与函数y=logax(a0,且a1)的单调性有一致性吗? 提示:当01时,上述两个函数均是其定义域上的增函数.因此单调性具有一致性,但变化速度有差异.,一,二,3.填空. (1)关系 指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1)互为反函数. (2)图象特征 指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数y=logax(a0,a1)的图象 关于直
3、线y=x对称. (3)单调性 当a1时,在区间1,+)内,指数函数y=ax随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y=logax的增长速度逐渐变得很缓慢.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)任何函数都有唯一一个反函数. ( ) (2)若函数y=logax的图象过点(m,n),则函数y=ax的图象定过点(n,m). ( ) (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,思维辨析,求反函数 【例1】求下列函数的反函数:,分析:按照求反函数的基本步骤求解即可. 解:(1)由
4、y=log2x,得x=2y,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求函数的反函数的主要步骤: (1)从y=f(x)中解出x=(y); (2)x,y互换; (3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1求函数y=2x+1(x0)的反函数. 解:由y=2x+1,得2x=y-1, x=log2(y-1),y=log2(x-1). 又x0,02x1, 12x+12. 所求函数的反函数为y=log2(x-1)(1x2).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,指数函数与对数函数图象的关系 【例2】 (1)已知a0,且a1,则函数y=
5、ax与y=loga(-x)的图象只能是( ) (2)将y=2x的图象( ),再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象. A.先向上平行移动一个单位长度 B.先向右平行移动一个单位长度 C.先向左平行移动一个单位长度 D.先向下平行移动一个单位长度,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:(1)方法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C. 其次,从单调性着眼.y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D.故选B. 方法二:若01,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点
6、(-1,0),只有B满足条件. 方法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选B. (2)本题是关于图象的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何图形直观推断. 答案:(1)B (2)D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟互为反函数的图象特点: (1)互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数. (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,
7、探究二,探究三,思维辨析,指数函数与对数函数关系的综合应用 【例3】设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值. 分析:根据方程的特点,难以从正面下手,可转变方程形式,用数形结合的方法求解. 解:将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3. 如图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由于函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标
8、为A(a,b),B(b,a). 则A,B都在直线y=-x+3上,b=-a+3(A点坐标代入),或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3. 反思感悟根据指数函数与对数函数图象的关系,利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对反函数定义理解:不清而致误 【典例】 已知函数y=f(x+1)与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(x)的图象过定点(1,2 018),则y=f-1(x+1)的图象过定点 . 错解:g(x)的图象过定点(1,2 018), y=f(x+1)的图象过定点(2 018
9、,1). y=f-1(x+1)的图象过定点(1,2 018). 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范? 提示:错解过程是把f(x+1)与f-1(x+1)误认为是互为反函数了,实际上f(x)与f-1(x)是互为反函数的,对此不能对自变量x随意变化拓展.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解:g(x)的图象过定点(1,2 018), f(x+1)的图象过定点(2 018,1). 又f(x)的图象可以看作由f(x+1)的图象向右平移一个单位长度得到的,f(x)过定点(2 019,1). 又f(x)与f-1(x)互为反函数,f-1(x)的图象过定点(1,2 019).
10、再结合f-1(x)与f-1(x+1)的关系可知,f-1(x+1)的图象过定点(0,2 019). 防范措施1.防止以上错误的产生,首先要明确反函数的求解原则和步骤,并且要清楚f(x)与f-1(x)是互为反函数的本质是等式中的x,y进行了互换. 2.对于复合函数f(x+1)的函数的求解,可将“x+1”看成整体来对待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知函数y=f(x-2)的图象过定点(2,6),则函数y=f-1(x-2)的图象过定点 . 答案:(8,0),答案:B 2.函数y=x+2(xR)的反函数为( ) A.x=2-y B.x=y-2 C.y=2-x(xR) D.y=x-2(xR) 解析:由y=x+2(xR),得x=y-2(xR).互换x,y,得y=x-2(xR). 答案:D,
