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1、- 1 - 目 录 1 引言 1 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 1 2.1 特征方程法 1 2.1.1 特征根是两个实根的情形 2 2.1.2 特征根有重根的情形 2 2.2 常数变异法4 2.3 拉普拉斯变化法5 3 常微分方程的简单应用 6 3.1 特征方程法 7 3.2 常数变异法9 3.3 拉普拉斯变化法10 4 总结及意义 11 参考文献12 二阶常微分方程的解法及其应用 摘要摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常 系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根 的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异
2、法以及 拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得 了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常 微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需 要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换 METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the ch
3、aracteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots an
4、d characteristics of root root, branch and dont use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect o
5、f solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make t
6、he discipline theory more perfect. Keywords:second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 1 1 引言引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方 程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。人所共知， 常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、 生态结构和工程技术问题的强有力工具。常微分
7、方程已有悠久的历史，而且继续 保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。常微 分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、 弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。 二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和 物理学中都有十分广泛的应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解 方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研 究的热点问题之一。而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法 和应用做出研究。 2 2 二阶常系数常微分方程的几种解法二阶常系数
8、常微分方程的几种解法 通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比较有代表性的是 特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有 限，本文则选取这三种具备代表性的解法进行分析。 2.1 特征方程法 所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因 数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程， 积分方程特征方程等等。 求微分方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的通解. 解 特征方程 0 2 qp 的根 21, , (1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解 12 , tt ee ,故通解为 12 12 t
9、t xc ec e （ 21,c c 为任意常数）. (2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状 2 11 12 tt xc ec te （ 21,c c 为任意常数）. (3)若这两个根为共轭复根z abi ,则该方程的通解具有形状 12 (sincos) at xecbtcbt （ 21,c c 为任意常数）. 数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据. 2.1.1 特征根是两个实根的情形 设 12 , 是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解 12 , tt ee , 我们指出这两个解在a tb 上线性无关,从而它们能够
10、组成方程的基本解组.事 实上,这时 12 12 12 () 12 12 11 ( ) tt t tt ee w te ee , 而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,它等于 21 () .由 于假设 21 ,故此行列式不等于零,从而 ( )0w t ,于是 12 , tt ee 线性无关,这就是 所要证明的.而此方程的通解可表示为 12 12 tt xc ec e （其中 12 ,c c 为任意数）. 如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设 1 i 是一特征根,则 2 i 也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方 程有两个复值解 () (
11、cossin) itt eetit , () (cossin) itt eetit . 根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方 程的一对共轭复根 i ,我们可求的方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的两个实值解 cos,sin tt et et . 2.1.2 特征根有重根的情形 3 设特征方程有k重根 1, 则众所周知 (1) 111 ()()()0, k FFF ( ) 1 ()0 k F , 先设 1 0 ,即特征方程有因子 k ,于是 11 0 nnn k aaa , 也就是特征方程的形状为 1 1 0 nnk n k aa , 而对应的方程
12、1 11 1 0 nn nn nn d xdx L xaaa x dtdt 变为 1 1 1 0 nnk n k nnk d ydyd y aa dxdxdx . 易见它有k个解1, 21 , k t tt ,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的 k重零根就对应方程的k个线性无关的解1, 21 , k t tt .如果这个k重根 1 0 ,我 们作变量变换 1t xye ,注意到 11 ()()()(1)2(2) 111 (1) () 2! ttmmmmmm m m xyeeymyyy ， 可得 111 1 11 1 () nn ttt n nn d ydy L yebb y eLy e
13、 dtdt , 于是对应方程化为 1 11 1 0 nn n nn d ydy Lybb y dtdt , 其中 123 , n b b bb 仍为常数,而相应的特征方程为 1 11 ( )0 nn nn Gbbb , 直接计算易得 1111 ()()() 11 ()( ) ttttt FeL eLeeGe , 因此 4 1 ()( )FG , 从而 1 ()( ) jj FG ， 1,2,jk , 这样,问题就化为前面讨论过的情形了. 2.2 常数变易法 常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方 程的求解。数变易法中，将常数 C 换成就可以得到非齐次线性方程的通解。 XU 它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。它是连接 非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。 对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特 征方程法求得方程的通解. 求常微分方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的通解. 解 方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 对应齐次方程为 2 2 0 d xdx pqx dtdt , 其特征方程为 0 2 qp . 由于方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的通解等于其对应的齐次线性微分方程
