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1、因式定理与余式定理,7.18,1 因式定理,设f(x)是一个多项式,c为一个常数 如果x-c是f(x)的因式即f(x)能够被x-c整除 则f(c)=0 反之亦然 *证明 推论:如果ax-b是f(x)的因式则f(b/a)=0 反之亦然,关于因式定理的深层推论(理解),设f(x)是一个多项式,c1、c2cn为n个相异常数,并且有f(c1)=f(c2)=f(cn)=0 那么(x-c1)(x-c2).(x-cn)是f(x)的因式,且是其最大的因式。,因式定理快速反馈练习,1.请问下列哪一项是 f(x)= 4x5+8x4+7x322x22x+5的因式? A.X-1 B.X+2 C.2X-1 D.X-2
2、2.设f(x)=x42x3+4x2+ax+3有一因式为x-3,求a,2 余式定理,若f(x)是一个多项式,c是一个常数 则f(x)除以x-c的余式为f(c) *证明 推论:多项式f(x)除以ax-b的余式为f(b/a) 观察f(x)除以ax-b与f(x)除以x-b/a 的余式,关于如何求f(x)除以一个多项式的余式,方法:长除法 例题:x-12x-42除以x-3 1.将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x,结果写在横线之上 2.将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下 3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积(注意减一个负项相当于加一个正项),结果写在下面
3、 4.将分子的下一项“拿下来” 5.重复前4步直到无法再除以x-3为止,余式定理快速反馈练习,1.求多项式2x-x+3x+5除以x-x+3的余式 2.设f (x)为实系数多项式,以x - 1除之,余式为9;以x - 2除之,余式为16,求f (x)除以(x - 1)(x - 2)的余式为 。,关于解决因式以及余式定理问题的一些诀窍,1.审题仔细,熟记因式定理以及余式定理的定义,做到快速反应出条件背后的内容,注意文字是“除”还是“除以” 2.善用假设 3.熟练运用长除法 4.克服对于次数较大的多项式的恐惧感 5.除了掌握最基础的方法之外,对付较复杂题目时可适当运用推广的结论,能够有一定程度的加快
4、速度并盘活思维 6.若有x的次方断层现象,建议写0x的n次方,防止看错导致全错,联招真题模拟,设f(x)以x-1除之,余式为8,以x2+x+1除之的余式为7x+16,求x3-1除之的余式为多少? 解:根据题意,得f(1)=8,f(x)=(x2+x+1)g(x)+7x+16, 则x3-1=(x-1)(x2+x+1) f(x)=(x3-1)g(x)+a(x2+x+1)+7x+16=(x-1)(x2+x+1)g(x) +a(x2+x+1)+7x+16 f(1)=3a+7+16=8 a=-5,所以余式为-5x2+2x+11,综合练习5题,1.设多项式f (x)除以x - 1,x2 - 2x + 3之余
5、式依次为2,4x + 6,则f (x)除以(x - 1)(x2 - 2x + 3)的余式为 。 2.设f (x)除以(x - 1)2的余式是x + 2,除以(x - 2)2的余式是3x + 4,则f (x)除以(x - 1)(x - 2)2的余式是 。 *3.求以(x + 1)2除x12的余式,4.设多项式h (x)被x2 - 1除后的余式为3x + 4,并且已知h (x)有因式x。若h (x)被x(x2 - 1)除后的余式为px2 + qx + r,则p2 - q2 + r2 = 。 5.求以x8 + x4 + 1除x12 + 99的余式,Homework,1.用x+x+1除多项式 x5+2x4-x3+x+1,余式为? 2005年联招19题 2.如果以2x-3x-2除多项式f(X)与g(X),分别得到余式2x+3与4x-1,则以2x+1除f(x)-g(x)的余式为? 2006联招18题 3.如果以x-5x+6除多项式f(X)得余式2x-5,则f(3)=? 2007联招19题,4.多项式x4+2x34x22x+3与x+4x+x-6的最大公因式为? 2009联招19题 5.设多项式p(X)=x+3x+ax+b与q(X)=x4+x+ax+2x+b有公因式x+3,则p(X)与q(X)的最大公因式为? 2010联招18题,