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1、因式定理与余式定理,7.18,1 因式定理,设f（x）是一个多项式，c为一个常数 如果x-c是f（x）的因式即f（x）能够被x-c整除 则f(c)=0 反之亦然 *证明 推论：如果ax-b是f（x）的因式则f（b/a）=0 反之亦然,关于因式定理的深层推论（理解）,设f（x）是一个多项式，c1、c2cn为n个相异常数，并且有f（c1）=f（c2）=f（cn）=0 那么（x-c1）（x-c2）.（x-cn）是f（x）的因式，且是其最大的因式。,因式定理快速反馈练习,1.请问下列哪一项是 f(x)= 4x5+8x4+7x322x22x+5的因式？ A.X-1 B.X+2 C.2X-1 D.X-2
2、2.设f(x)=x42x3+4x2+ax+3有一因式为x-3，求a,2 余式定理,若f（x）是一个多项式，c是一个常数 则f（x）除以x-c的余式为f（c） *证明 推论：多项式f（x）除以ax-b的余式为f（b/a） 观察f（x）除以ax-b与f（x）除以x-b/a 的余式,关于如何求f（x）除以一个多项式的余式,方法：长除法 例题：x-12x-42除以x-3 1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x，结果写在横线之上 2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面
3、 4.将分子的下一项“拿下来” 5.重复前4步直到无法再除以x-3为止,余式定理快速反馈练习,1.求多项式2x-x+3x+5除以x-x+3的余式 2.设f (x)为实系数多项式，以x - 1除之，余式为9；以x - 2除之，余式为16，求f (x)除以(x - 1)(x - 2)的余式为 。,关于解决因式以及余式定理问题的一些诀窍,1.审题仔细，熟记因式定理以及余式定理的定义，做到快速反应出条件背后的内容，注意文字是“除”还是“除以” 2.善用假设 3.熟练运用长除法 4.克服对于次数较大的多项式的恐惧感 5.除了掌握最基础的方法之外，对付较复杂题目时可适当运用推广的结论，能够有一定程度的加快
4、速度并盘活思维 6.若有x的次方断层现象，建议写0x的n次方，防止看错导致全错,联招真题模拟,设f(x)以x-1除之，余式为8，以x2+x+1除之的余式为7x+16，求x3-1除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8,f(x)=(x2+x+1)g(x)+7x+16, 则x3-1=(x-1)(x2+x+1) f(x)=(x3-1)g(x)+a(x2+x+1)+7x+16=(x-1)(x2+x+1)g(x) +a(x2+x+1)+7x+16 f(1)=3a+7+16=8 a=-5,所以余式为-5x2+2x+11,综合练习5题,1.设多项式f (x)除以x - 1，x2 - 2x + 3之余
5、式依次为2，4x + 6，则f (x)除以(x - 1)(x2 - 2x + 3)的余式为 。 2.设f (x)除以(x - 1)2的余式是x + 2，除以(x - 2)2的余式是3x + 4，则f (x)除以(x - 1)(x - 2)2的余式是 。 *3.求以(x + 1)2除x12的余式,4.设多项式h (x)被x2 - 1除后的余式为3x + 4，并且已知h (x)有因式x。若h (x)被x(x2 - 1)除后的余式为px2 + qx + r，则p2 - q2 + r2 = 。 5.求以x8 + x4 + 1除x12 + 99的余式,Homework,1.用x+x+1除多项式 x5+2x4-x3+x+1,余式为？ 2005年联招19题 2.如果以2x-3x-2除多项式f(X)与g(X)，分别得到余式2x+3与4x-1，则以2x+1除f（x）-g（x）的余式为? 2006联招18题 3.如果以x-5x+6除多项式f(X)得余式2x-5，则f（3）=？ 2007联招19题,4.多项式x4+2x34x22x+3与x+4x+x-6的最大公因式为？ 2009联招19题 5.设多项式p(X）=x+3x+ax+b与q(X)=x4+x+ax+2x+b有公因式x+3，则p(X)与q(X)的最大公因式为？ 2010联招18题,
